Universität Paderborn, Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik

Ausarbeitungen zum

Seminar Algebra

bei Dr. Christian Nelius

im WS 2003/2004

Teilnehmer:

Dennis Amelunxen,  Olga Anhalt,
Karin Büker,  Nadja Dvoretski,
Anna Hillebrand,  Ann–Kristin Malik,
José Sánchez–Romero,  Annemarie Schulz,
Johann Thiemeyer,  Dietrich Travkin,
Johann Wedel,  Alexander Willms

INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis

1 Zerfällungskörper von Polynomen 1 2 Separable und normale Körpererweiterungen 7 3 Die Galoisgruppe eines Polynoms 13 4 Der Fundamentalsatz der Algebra 20 5 Einheitswurzeln und Kreisteilungspolynome 25 6 Endliche Körper 33 7 Irreduzible Polynome über endlichen Körpern 40 8 Ein Satz von Wedderburn 46 9 Endlichdimensionale reelle Algebren 56 10 Ein Satz von Frobenius 64 11 Die Auflösbarkeit der symmetrischen Gruppen 72 12 Die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks 79 13 Das Umkehrproblem der Galoistheorie 84

1. Zerfällungskörper von Polynomen  Dietrich Travkin

1 Zerfällungskörper von Polynomen

In dieser Ausarbeitung soll auf ”einfache“ Weise gezeigt werden, dass es zu einem Polynom f ∈ K [T] für einen Körper K einen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten, kleinsten Oberkörper von K gibt, über dem f in Linearfaktoren zerfällt. Dabei baut diese Arbeit auf [2], Seiten 132 bis 142 auf.

1.1 Definition Sei L : K eine Körpererweiterung. L heißt Zerfällungskörper eines nicht-konstanten Polynoms f ∈ K [T] (man sagt dann auch: L ist Zerfällungskörper von f über K, Kurzschreibweise: ZFK_{K}(f)), wenn gilt:

a) f zerfällt über L in Linearfaktoren, d.h. es gibt a_{1}, …, a_{n}, b ∈ L mit f = b · (T − a_{1}) · . . . · (T − a_{n}).

b) L ist minimal bzgl. der Eigenschaft in a), d.h. f zerfällt über keinem echten Zwischenkörper von L : K in Linearfaktoren.

1.2 Beispiele a) ℂ ⊃ ℝ ist ein Zerfällungskörper des Polynoms p := T^{2} + 1 ∈ ℝ [T], denn die Nullstellen von p sind i, −i ∈ ℂ und ℝ(i) = ℂ. Es gibt also keinen echten Zwischenkörper von ℂ : ℝ, über dem p = T^{2} + 1 = (T − i)(T + i) in Linearfaktoren zerfällt.

b) ℚ(i) ⊃ ℚ ist ein Zerfällungskörper des Polynoms p′ := T^{2} + 1 ∈ ℚ [T]. Hier gilt nämlich i, −i ∈ ℚ(i) = ℚ(−i) und ℚ(i) ist der kleinste Zwischenkörper von ℂ : ℚ, der ℚ und {i, −i} enthält.

Um die Existenz eines Zerfällungskörpers zu einem nicht-konstanten Polynom f ∈ K [T] beweisen zu können, wird der folgende Satz von Kronecker benötigt.

1.3 Satz (von Kronecker) Ist K ein Körper und f ein nicht-konstantes Polynom aus K [T], so gibt es einen Oberkörper L von K und ein α ∈ L mit f(α) = 0.

Beweis: Weil f ∈ K [T] nicht konstant ist, hat f einen Grad ≥1 und läßt sich nach [1] Satz 3.27 als Produkt von endlich vielen irreduziblen Polynomen darstellen. Sei p ∈ K [T] eines dieser irreduziblen Polynome, d.h. f = p · q, q ∈ K [T]. Da K ein Körper ist und p irreduzibel über K ist, ergibt sich aus [1] Satz 3.24 i) grad(p) ≥ 1. Dann ist L := K [T] /(p) nach [1] Satz 3.34 ein Körper.

Betrachten wir nun die natürliche Abbildung ν : K [T] → K [T] /(p) mit ∀x ∈ K [T] : ν(x) = [x]_{(p)}. Diese Abbildung ist nach [1] Satz 1.18 ein surjektiver Ringhomomorphismus. Schränkt man ν auf K ein, d.h. wir betrachten ν|K : K → L, so ist diese Abbildung sogar ein Körperhomomorphismus, weil L = K [T] /(p) und K Körper sind. Nach [1] Satz 2.10 ist jeder Körperhomomorphismus injektiv, was dann auch für ν|K gilt. Man kann also K in L = K [T] /(p) einbetten und L (bis auf Isomorphie) als Oberkörper von K betrachten.

Sei α := ν(T) = [T] ∈ L und p ∈ K [T] habe die Form p = ∑_{i=0}^{m} a_{i}T^{i}, a_{i} ∈ K. Dann gilt

p(α) = p([T]) = ∑_{i=0}^{m} a_{i}[T]^{i} = ∑_{i=0}^{m} a_{i} [T^{i}] = ∑_{i=0}^{m} [a_{i}T^{i}] = [∑_{i=0}^{m} a_{i}T^{i}] = [p] = ν(p)

Da [p] aber die Restklasse von p nach dem Ideal (p) ist, also p(α) = [p]_{(p)} gilt, folgt [p]_{(p)} = p + (p) = {p + ap | a ∈ K [T]} = [0]_{(p)} und damit auch p(α) = [p] = 0. α ist also eine Nullstelle des Polynoms p und wegen p | f ist α auch eine Nullstelle von f.

Es gilt also: L ist (bis auf Isomorphie) ein Oberkörper von K mit f(α) = 0, α ∈ L. □

Nun kommen wir zu dem Beweis der Existenz eines Zerfällungskörpers zu einem nicht-konstanten Polynom.

1.4 Satz (Existenz) Sei K ein Körper und f ∈ K [T] ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es einen Zerfällungskörper Z = ZFK_{K}(f) von f. Ist L : K eine Körpererweiterung und zerfällt f über L in Linearfaktoren T − a_{1}, …, T − a_{n}, so ist K(a_{1}, …, a_{n}) ⊇ K Zerfällungskörper von f.

Beweis: Seien K ein Körper und f ∈ K [T] ein nicht-konstantes Polynom, also ein Polynom mit grad(f) ≥ 1. Dann gibt es nach Satz 1.3 einen Oberkörper L_{1} von K und ein a_{1} ∈ L_{1} mit f(a_{1}) = 0. Dann gilt nach [1] Lemma 3.12 f = (T − a_{1})q_{1} für ein geeignetes Polynom q_{1} ∈ L_{1} [T]. Ist q_{1} ein konstantes Polynom, so ist man fertig. Andernfalls — in diesem Fall gilt grad(q_{1}) ≥ 1 — kann man dieses Verfahren nochmal auf q_{1} anwenden und erhält so einen Oberkörper L_{2} von L_{1} und ein Element a_{2} ∈ L_{2} mit q_{1}(a_{2}) = 0 = f(a_{2}) und es gilt q_{1} = (T − a_{2})q_{2} für ein geeignetes Polynom q_{2} ∈ L_{2} [T]. Damit gilt also f = (T − a_{1})q_{1} = (T − a_{1})(T − a_{2})q_{2}. Für grad(f) = n läßt sich dieses Verfahren n-mal anwenden, und führt zu einem Oberkörper L_{n} von K und den Elementen a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ L_{n}, sowie einem konstanten Polynom q_{n} ∈ L_{n} [T]^{∗} = L_{n}^{∗} mit f = (T − a_{1})(T − a_{2}) · . . . · (T − a_{n})q_{n}. Multipliziert man (T − a_{1}) · . . . · (T − a_{n}) aus, so hat man f = q_{n}T^{n} + r für ein r ∈ K [T], d.h. q_{n} ist der Leitkoeffizient von f und wegen f ∈ K [T] liegt q_{n} sogar in K ⊆ L_{n}. Das Polynom f ∈ K [T] zerfällt also über K(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) in Linearfaktoren.

Nun ist zu zeigen, dass K(a_{1}, …, a_{n}) sogar ein Zerfällungskörper von f ist. Annahme: f zerfällt über einem Zwischenkörper L von K(a_{1}, …, a_{n}) : K in Linearfaktoren. Dann gibt es b_{1}, b_{2}, …, b_{n} ∈ L und ein c ∈ K mit f = (T −b_{1})(T −b_{2})·. . .·(T −b_{n})c. Die Faktoren T − a_{i} und T − b_{i} für i = 1, …, n sind nach [1] Lemma 3.26 a) irreduzibel. Nach [1] Satz 3.27 läßt sich jedes Polynom p ∈ K [T] vom Grad ≥1 als Produkt von endlich vielen irreduziblen Polynomen darstellen, wobei die Darstellung eindeutig ist bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten. Dieses gilt also auch für f, d.h. die Darstellungen f = (T − a_{1})(T − a_{2}) · . . . · (T − a_{n})q_{n} und f = (T − b_{1})(T − b_{2}) · . . . · (T − b_{n})c unterscheiden sich höchstens in der Reihenfolge der Faktoren und der Multiplikation mit einer Einheit. Zu jedem a_{i}, i ∈ {1, …, n} gibt es dann ein b_{j}, j ∈ {1, …, n} mit T −a_{i} ∼ T −b_{j} (T −a_{i} ist assoziiert zu T −b_{j}), d.h. es gibt eine Einheit d ∈ L_{n}^{∗} = L_{n}\{0} mit d · (T − a_{i}) = (T − b_{j}). Ein Koeffizientenvergleich führt zu d = 1 und damit zu a_{i} = b_{j}. Es gilt also {a_{1}, …, a_{n}} = {b_{1}, …, b_{n}} und q_{n} ∼ c. Dann gilt aber auch K(b_{1}, …, b_{n}) = K(a_{1}, …, a_{n}). Wegen K(b_{1}, …, b_{n}) ⊆ L ⊆ K(a_{1}, …, a_{n}) folgt dann L = K(a_{1}, …, a_{n}). Es gibt also keinen echten Zwischenkörper von K(a_{1}, …, a_{n}) : K, über dem f in Linearfaktoren zerfällt, d.h. K(a_{1}, …, a_{n}) = ZFK_{K}(f).

□

Die Konstruktion des Zerfällungskörpers K(a_{1}, …, a_{n}) von f ∈ K [T] in dem letzten Beweis läßt auf eine interessante Eigenschaft der Körpererweiterung K(a_{1}, …, a_{n}) : K schließen.

1.5 Korollar Seien K ein Körper, f ∈ K [T] ein nicht-konstantes Polynom und Z ein Zerfällungskörper von f über K. Dann ist Z : K eine endliche Körpererweiterung.

Beweis: Nach Definition 1.1 zerfällt f über Z in Linearfaktoren, d.h. es gibt a_{1}, …, a_{n}, b ∈ Z mit f = b · (T − a_{1}) · . . . · (T − a_{n}). Weiter gilt a_{1}, …, a_{n} ∈ K(a_{1}, …, a_{n}) ⊆ Z. Nach Satz 1.4 ist K(a_{1}, …, a_{n}) ein Zerfällungskörper von f über K. Da auch Z ein Zerfällungskörper von f über K ist und es nach Definition 1.1 keinen echten Zwischenkörper von Z : K gibt, über dem f in Linearfaktoren zerfällt, folgt Z = K(a_{1}, …, a_{n}).

f ∈ K [T] ist von Null verschieden und es gilt f(a_{i}) = 0 für alle i = 1, …, n. Daraus folgt, dass a_{i}, i = 1, …, n algebraisch über K ist. Aus [1] Satz 5.14 folgt dann K(a_{1}, …, a_{n}) : K ist endlich, d.h. Z : K ist endlich.

□

Bevor die Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers ZFK_{K}(f) zu einem Polynom f ∈ K [T] gezeigt wird, sollen noch einige Hilfsmittel bereitgestellt werden.

1.6 Satz Seien K und K′ Körper, φ : K → K′ ein Isomorphismus und Φ : K [T] → K′ [T] der zugehörige Isomorphismus der Polynomringe. Ferner sei f ∈ K [T] irreduzibel, α sei eine Nullstelle von f in einem Oberkörper von K und α′ eine Nullstelle von f′ := Φ(f) ∈ K′ [T] in einem Oberkörper von K′.

Dann gibt es genau einen Isomorphismus φ̂ : K(α) → K′(α′) mit φ̂|K = φ und φ̂(α) = α′.

Beweis: f ist irreduzibel über K und damit gilt nach [1] Bemerkung 3.24 i) f ≠ 0. α ist eine Nullstelle von f ∈ K [T] , f ≠ 0 und damit ist α algebraisch über K. Nach [1] Satz 5.7 und [1] Satz 4.7 c_{1}) folgt dann K(α) = K [α] = {h(α) | h ∈ K [T]}.

Eindeutigkeit von φ̂: Angenommen, es gibt zwei Isomorphismen φ̂, ρ̂: K(α) → K′(α′) mit den gewünschten Eigenschaften. Sei a ∈ K(α) beliebig. Dann gilt a = g(α) für ein g ∈ K [T] wegen K(α) = {h(α) | h ∈ K [T]}. Sei g der Form g = ∑_{i=0}^{m} a_{i}T^{i}, a_{i} ∈ K. Dann gilt φ̂(a) = φ̂(g(α)) = φ̂(∑_{i=0}^{m} a_{i}α^{i}) = ∑_{i=0}^{m} φ̂(a_{i}α^{i}) = ∑_{i=0}^{m} φ̂(a_{i})φ̂(α^{i}) = ∑_{i=0}^{m} φ̂(a_{i})φ̂(α)^{i} = ∑_{i=0}^{m} φ(a_{i})(α′)^{i}. Analog kommt man mit ρ̂ zu ρ̂(a) = ρ̂(g(α)) = ∑_{i=0}^{m} ρ̂(a_{i})ρ̂(α)^{i} = ∑_{i=0}^{m} φ(a_{i})(α′)^{i}. Das heißt ∀a ∈ K(α) : φ̂(a) = ρ̂(a) und damit φ̂ = ρ̂. Es kann also höchstens einen Isomorphismus φ̂ mit den gewünschten Eigenschaften geben.

Existenz von φ̂: Betrachtet man die Einsetzungshomomorphismen E_{α} : K [T] → K(α) definiert durch E_{α}(g) = g(α) und E_{α′} : K′ [T] → K′(α′) definiert durch E_{α′}(g′) = g′(α′) (siehe [1] Satz 3.10),

[figure: K; ⋂; ≅; φ; K′; ⋂; K [T]; E_{α}; ≅; Φ; K′ [T]; E_{α′}; K(α); φ̂; K′(α′)]

so gilt E_{α}(f) = f(α) = 0 und E_{α′}(f′) = f′(α′) = 0, da α eine Nullstelle von f und α′ eine Nulstelle von f′ ist. Es gilt also f ∈ Kern(E_{α}) und f′ = Φ(f) ∈ Kern(E_{α′}).

Sei m_{α} ∈ K [T] das Minimalpolynom von α und m_{α′} ∈ K′ [T] das Minimalpolynom von α′. Dann gilt nach [1] Satz 5.4 b) m_{α}|f und m_{α′}|f′. Wegen f(α) = 0 und weil f irreduzibel ist (aber nicht notwendigerweise normiert), folgt m_{α} ∼ f. Da Φ : K [T] → K′ [T] ein Isomorphismus ist, folgt, dass f′ = Φ(f) irreduzibel in K′ [T] ist und damit auch m_{α′} ∼ f′. Es folgt (m_{α}) = {h · m_{α} | h ∈ K [T]} = {a · h · f | h ∈ K [T] , a ∈ K^{∗}} =

(f) und analog folgt auch (m_{α′}) = (f′).

Behauptung: (f) = Kern(E_{α}) und (f′) = Kern(E_{α′}). Sei g ∈ (f) beliebig. Dann hat g die Form g = h · f für ein geeignetes h ∈ K [T]. Weiter gilt wegen f(α) = 0: E_{α}(g) = E_{α}(h · f) = E_{α}(h) · E_{α}(f) = E_{α}(h) · f(α) = 0. Daraus folgt: (f) ⊆ Kern(E_{α}). Analog gelangt man auch zu (f′) ⊆ Kern(E_{α′}).

Sei jetzt umgekehrt g ∈ Kern(E_{α}) beliebig. Dann gilt 0 = E_{α}(g) = g(α). Wegen m_{α} ∼ f und m_{α}|g folgt dann f|g und damit g ∈ (f), d.h. (f) ⊇ Kern(E_{α}). Analog zeigt man für ein beliebiges g′ ∈ Kern(E_{α′}): f′|g′ und damit g′ ∈ (f′), also (f′) ⊇ Kern(E_{α′}). Damit ist die Behauptung (f) = Kern(E_{α}) und (f′) = Kern(E_{α′}) bewiesen.

Weil α algebraisch über K ist, gilt Bild(E_{α}) = {E_{α}(g) | g ∈ K [T]} = {g(α) | g ∈ K [T]} = K [α] = K(α). Mit Kern(E_{α}) = (f) folgt dann nach dem Ringhomomorphiesatz in

[1] Bemerkung 3.11 c), dass es einen Ringisomorphismus E_{α}^{∗} : K [T] /(f) → K(α) gibt, definiert durch [g]_{(f)} ↦ E_{α}(g) = g(α) (∀g ∈ K [T]). Analog läßt sich zeigen: Bild(E_{α′}) = K′(α′) und es gibt einen Ringisomorphismus E_{α′}^{∗} : K′ [T] /(f′) → K′(α′), definiert durch [g′]_{(f′)} ↦ E_{α′}(g′) = g′(α′) (∀g′ ∈ K′ [T]).

Nun soll gezeigt werden, dass es einen Isomorphismus Φ′ : K [T] /(f) → K′ [T] /(f′) gibt und damit der Isomorphismus φ̂:= E_{α′}^{∗} ∘ Φ′ ∘ E_{α}^{∗}^{−1} existiert.

\xymatrix{K [T] \ar[dd]_{ν} \ar[d]_{E_{α}} \ar[r]_{≅}^{Φ} & K′ [T] \ar[dd]^{ν′} \ar[d]^{E_{α′}} \\ K(α) \ar@{-->}[r]^{φ̂} & K′(α′) \\ K [T] /(f) \ar[u]_{≅}^{E_{α}^{∗}} \ar@{.>}[r]_{≅}^{Φ′} & K′ [T] /(f′) \ar[u]_{E_{α′}^{∗}}^{≅}}

Nach [1] Satz 1.18 gibt es die natürliche Abbildung ν : K [T] → K [T] /(f) und die natürliche Abbildung ν′ : K′ [T] → K′ [T] /(f′), definiert durch ν(g) = [g]_{(f)} und ν′(g′) = [g′]_{(f′)}. Aus dem gleichen Satz ist bekannt, dass ν und ν′ surjektive Ringhomomorphismen sind.

Sei nun ψ : K [T] → K′ [T] /(f′) definiert durch ψ := ν′ ∘ Φ.

\xymatrix{K [T] \ar[dr]^{ψ} \ar[d]_{ν} \ar[r]_{≅}^{Φ} & K′ [T] \ar[d]^{ν′} \\ K [T] /(f) \ar@{.>}[r]_{≅}^{Φ′} & K′ [T] /(f′)}

Da Φ und ν′ surjektive Ringhomomorphismen sind, ist ψ als Hintereinanderausführung dieser beiden Abbildungen ebenfalls ein surjektiver Ringhomomorphismus. Nach [1] Bemerkung 1.8 a) gilt dann Bild(ψ) = K′ [T] /(f′).

Behauptung: Kern(ψ) = (f). Es gilt offenbar ψ(f) = (ν′ ∘ Φ)(f) = ν′(Φ(f)) = ν′(f′) = [f′]_{(f′)} = [0]_{f′}, d.h. f ∈ Kern(ψ). Wegen m_{α} ∼ f gilt für alle g ∈ Kern(ψ): f|g und damit g ∈ (f), d.h. (f) ⊇ Kern(ψ).

Andererseits gilt für alle g ∈ (f): g = h · f, für ein h ∈ K [T] und ψ(g) = ψ(h ·

f) = ψ(h) · ψ(f) = 0, weil f ∈ Kern(ψ) gilt. Es folgt g ∈ Kern(ψ) und damit auch

(f) ⊆ Kern(ψ). Die Behauptung Kern(ψ) = (f) ist damit gezeigt.

Mit Bild(ψ) = K′ [T] /(f′) und Kern(ψ) = (f) kann nun wieder der Ringhomomorphiesatz angewandt werden und es folgt: Es gibt einen Ringisomorphismus Φ′ : K [T] /(f) → K′ [T] /(f′), definiert durch [g]_{(f)} ↦ ψ(g) = ν′(Φ(g)) = [Φ(g)]_{(f′)}. Diese Abbildung ist sogar ein Körperisomorphismus, denn weil f über K irreduzibel ist, gilt nach [1] Bemerkung 3.24 i) grad(f) ≥ 1 und nach [1] Satz 3.34 ist K [T] /(f) ein Körper. Analog zeigt man, dass K′ [T] /(f′) ein Körper ist, da f′ = Φ(f) irreduzibel in K′ [T] ist. Da K(α) und K′(α′) ebenfalls Körper sind, folgt, dass auch E_{α}^{∗} und E_{α′}^{∗} Körperisomorphismen sind.

Die Abbildung φ̂:= E_{α′}^{∗} ∘ Φ′ ∘ E_{α}^{∗}^{−1} ist eine Hintereinanderausführung von Körperisomorphismen und damit selbst wieder ein Körperisomorphismus. Nun muss noch φ̂|K = φ und φ̂(α) = α′ nachgewiesen werden.

Sei a ∈ K beliebig. Dann gilt nach [1] Satz 3.10: E_{α}^{∗}([a]_{(f)}) = E_{α}(a) = a und damit (E_{α}^{∗})^{−1}(a) = [a]_{(f)}. Es folgt dann φ̂(a) = E_{α′}^{∗}(Φ′((E_{α}^{∗})^{−1}(a))) = E_{α′}^{∗}(Φ′([a]_{(f)})) = E_{α′}^{∗}([Φ(a)]_{(f′)}) = E_{α′}^{∗}([φ(a)]_{(f′)}) = E_{α′}(φ(a)) = φ(a), d.h. φ̂|K = φ.

Für α gilt φ̂(α) = E_{α′}^{∗}(Φ′((E_{α}^{∗})^{−1}(α))) = E_{α′}^{∗}(Φ′([T]_{(f)})) = E_{α′}^{∗}([Φ′(T)]_{(f′)}) = E_{α′}^{∗}([T]_{(f′)}) = E_{α′}(T) = α′. Damit sind alle gewünschten Eigenschaften für φ̂ erfüllt und die Existenz bewiesen.

□

1.7 Korollar Sei L : K eine Körpererweiterung und seien α_{1}, α_{2} ∈ L algebraisch über K. Stimmen dann die Minimalpolynome von α_{1} und α_{2} über K überein, so gibt es genau einen Isomorphismus ϑ : K(α_{1}) → K(α_{2}) mit ϑ|K = id_{K} und ϑ(α_{1}) = α_{2}.

Beweis: Wir können Satz 1.6 für K = K′ und φ = id_{K} anwenden: α_{1} und α_{2} sind Nullstellen des gemeinsamen Minimalpolynoms m_{α_{1}} = m_{α_{2}} ∈ K [T], welches über K irreduzibel ist. (Φ(m_{α_{1}}) ist hier gerade m_{α_{1}} selbst und damit ist α_{2} Nullstelle von Φ(m_{α_{1}}) = m_{α_{1}}.) Dann gibt es nach Satz 1.6 genau einen Isomorphismus φ̂ : K(α_{1}) → K(α_{2}) mit φ̂|K = id_{K} und φ̂(α_{1}) = α_{2}. ϑ := φ̂ ist also der gesuchte Isomorphismus.

□

1.8 Satz Seien K und K′ Körper, φ : K → K′ ein Isomorphismus und Φ : K [T] → K′ [T] der zugehörige Isomorphismus der Polynomringe. Ferner sei f ∈ K [T] nicht konstant.

Ist dann Z ⊇ K ein Zerfällungskörper von f und Z′ ⊇ K′ ein Zerfällungskörper von f′ := Φ(f), so gibt es einen (i.a. nicht eindeutig bestimmten) Isomorphismus ψ : Z → Z′ mit ψ|K = φ, der die Menge der Nullstellen von f in Z auf die Menge der Nullstellen von f′ in Z′ abbildet.

Beweis: Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über die Anzahl r der in Z \K liegenden Nullstellen von f: Induktionsanfang: \underline{r = 0 :} Hier gilt Z = K, da f keine Nullstellen in Z \ K hat und damit über K in Linearfaktoren zerfällt. Es gibt also α_{1}, α_{2}, …, α_{n}, c ∈ K mit f = c(T − α_{1}) · . . . · (T − α_{n}). Damit gilt f′ = Φ(f) = Φ(c(T − α_{1}) · . . . · (T − α_{n})) = Φ(c)Φ(T − α_{1}) · . . . · Φ(T − α_{n}) = φ(c)(T − φ(α_{1})) · . . . · (T − φ(α_{n})). Die Nullstellen von f, nämlich α_{1}, …, α_{n} ∈ K, werden auf die Nullstellen von f′ = Φ(f), nämlich φ(α_{1}), …, φ(α_{n}) ∈ K′, abgebildet. Damit erfüllt ψ := φ die gewünschten Eigenschaften.

Induktionsannahme: Die Behauptung sei richtig für alle K, K′, φ, f, Z, Z′, die die Voraussetzungen des Satzes erfüllen und für die zusätzlich gilt, dass höchstens r − 1 Nullstellen von f in Z \ K liegen. Induktionsschluss: \underline{r ≥ 1 :} Falls nun K, K′, φ, f, Z, Z′ die Voraussetzungen des Satzes erfüllen und liegen r Nullstellen α_{1}, …, α_{r} von f in Z \ K, so betrachtet man das Minimalpolynom m_{α_{1}} von α_{1} über K. Dieses ist nach [1] Satz 5.4 b) ein Teiler von f, sodass m′_{α_{1}} := Φ(m_{α_{1}}) ein Teiler von f′ = Φ(f) ist, denn es gilt Φ(f) = Φ(m_{α_{1}} · q) = Φ(m_{α_{1}}) · Φ(q) für ein geeignetes Polynom q ∈ K [T]. Da f′ in Z′ in Linearfaktoren zerfällt, hat m′_{α_{1}} eine Nullstelle α′_{1} in Z′. Nach Satz 1.6 gibt es dann einen Isomorphismus φ̂ : K(α_{1}) → K′(α′_{1}) mit φ̂|K = φ und φ̂(α_{1}) = α′_{1}. Für K(α_{1}), K′(α′_{1}), φ̂, f, Z, Z′ gilt nun, dass f höchstens r − 1 Nullstellen in Z \ K(α_{1}) hat. Deswegen kann auf K(α_{1}), K′(α′_{1}), φ̂, f, Z, Z′ die Induktionsannahme angewandt werden und man erhält so unmittelbar die Behauptung, d.h. es gibt einen Isomorphismus ψ : Z → Z′ mit ψ|K(α_{1}) = φ̂, der die Menge der Nullstellen von f in Z auf die Menge der Nullstellen von f′ in Z′ abbildet.

□

Jetzt sind die benötigten Hilfsmittel für den Beweis der Eindeutigkeit eines Zerfällungskörpers ZFK_{K}(f) zu einem Polynom f ∈ K [T] vorhanden, deswegen folgt nun der nachstehende Satz.

1.9 Satz (Eindeutigkeit) Seien K ein Körper und f ∈ K [T] ein nicht-konstantes Polynom. Sind Z ⊇ K und Z′ ⊇ K Zerfällungskörper von f, so gibt es einen Isomorphismus ψ : Z → Z′ mit ψ|K = id_{K}, der die Menge der Nullstellen von f in Z auf die Menge der Nullstellen von f in Z′ abbildet.

Z ist also bis auf Isomorphie eindeutig und es kann von dem Zerfällungskörper eines nicht-konstanten Polynoms gesprochen werden.

Beweis: Setzt man K = K′ und φ = id_{K}, so folgt aus Satz 1.8, dass es einen Isomorphismus ψ : Z → Z′ gibt mit ψ|K = φ = id_{K}, der die Menge der Nullstellen von f in Z auf die Menge der Nullstellen von f in Z′ abbildet, denn es gilt f′ = Φ(f) = Φ(∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i}) = ∑_{i=0}^{n} φ(a_{i})T^{i} = ∑_{i=0}^{n} id_{K}(a_{i})T^{i} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} = f, falls f die Form f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i}, a_{i} ∈ K hat. Das ist aber gerade die Behauptung.

□

1.10 Beispiele a) Sei f := T^{5}−1 ∈ ℚ [T] ein Polynom. Die Nullstellen von f sind dann 1, α, α^{2}, α^{3}, α^{4} für α := e^{\frac{2πi}{5}} = cos(\frac{2π}{5} ) + i sin(\frac{2π}{5} ). Damit läßt sich f wie folgt schreiben f = (T −1)(T −α)(T −α^{2})(T −α^{3})(T −α^{4}), d.h. f zerfällt über ℚ(α) in Linearfaktoren. Nach Satz 1.4 ist aber ℚ(1, α, α^{2}, α^{3}, α^{4}) = ℚ(α) ⊃ ℚ ein Zerfällungskörper von f. Dieser ist nach Satz 1.9 eindeutig (bis auf Isomorphie).

b) Sei g := 5T^{5} + 15T^{3} − 10T^{2} − 30 ∈ ℚ [T]. g läßt sich nach dem Faktorisieren in ℚ ausdrücken durch g = 5(T^{3} − 2)(T^{2} + 3) oder nach dem Faktorisieren in ℂ durch g = 5(T − α_{1})(T − α_{2})(T − α_{3})(T − β_{1})(T − β_{2}) für α_{1} := \sqrt[3]{2}, α_{2} := \sqrt[3]{2} · e^{\frac{2πi}{3}} , α_{3} := \sqrt[3]{2} · e^{\frac{4πi}{3}} , β_{1} := i\sqrt{3} und β_{2} := −i\sqrt{3}. Offensichtlich zerfällt g über ℂ in Linearfaktoren, doch nach Satz 1.4 ist ℚ(α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1}, β_{2}) ⊂ ℂ ein Zerfällungskörper von g. Wegen α_{3} = (\frac{α_{2}}{α_{1}} )^{2} ∈ ℚ(α_{1}, α_{2}) und β_{2} = −β_{1} ∈ ℚ(β_{1}) gilt ℚ(α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1}, β_{2}) = ℚ(α_{1}, α_{2}, β_{1}), das ist nach Satz 1.9 der (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmte Zerfällungskörper von g. Damit gibt es keinen echten Zwischenkörper von ℚ(α_{1}, α_{2}, β_{1}) : ℚ, über dem g in Linearfaktoren zerfällt.

2. Separable und normale Körpererweiterungen  Nadja Dvoretski

2 Separable und normale Körpererweiterungen

2.1 Definition Eine Körpererweiterung L : K heißt normal, wenn gilt:

a) L : K ist algebraisch.

b) Jedes \underline{irreduzible} Polynom f ∈ K [T], das in L eine Nullstelle hat, zerfällt über L in Linearfaktoren.

Bedingung b) ist offensichtlich gleichwertig damit, dass für jedes a ∈ L gilt: Das Minimalpolynom von a über K zerfällt über L in Linearfaktoren.

2.2 Satz Seien K und K′ Körper, φ : K → K′ ein Isomorphismus und Φ : K [T] → K′ [T] der zugehörige Isomorphismus der Polynomringe. Ferner sei f ein nicht-konstantes Polynom aus K [T]. Ist dann Z ⊇ K ein Zerfällungskörper von f und Z′ ⊇ K′ ein Zerfällungskörper von f′ := Φ(f), so gibt es zu jeder Nullstelle α eines irreduziblen Faktors g von f in Z und zu jeder Nullstelle β von g′ := Φ(g) in Z′ einen Isomorphismus ψ : Z → Z′ mit ψ(α) = β und ψ(x) = φ(x) für alle x ∈ K, der die Menge der Nullstellen von f in Z auf die Menge der Nullstellen von f′ in Z′ abbildet.

Beweis: Da g irreduzibel ist, gibt es nach Satz 1.6 einen Isomorphismus φ̂: K(α) → K′(β) mit φ̂(x) = φ(x) für alle x ∈ K und φ̂(α) = β. Da Z ⊇ K(α) ein Zerfällungskörper von f und Z′ ⊇ K′(β) ein Zerfällungskörper von f′ ist, gibt es nach 1.8 einen Isomorphismus ψ : Z → Z′ mit ψ(x) = φ̂(x) für alle x ∈ K(α), der die Menge der Nullstellen von f in Z auf die Menge der Nullstellen von f′ in Z′ abbildet. Das heißt, es gilt ψ(x) = φ̂(x) = φ(x) für alle x ∈ K und ψ(α) = φ̂(α) = β.

□

2.3 Satz Für eine \underline{endliche} Körpererweiterung L : K sind folgende Aussagen äquivalent:

1) L : K ist normal.

2) L ⊇ K ist Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K [T].

3) Ist L′ : L eine Körpererweiterung und φ : L → L′ ein Körperhomomorphismus mit φ|K = id_{K}, so gilt φ(L) ⊆ L.

Beweis: 1) ⇒ 2) Da L : K eine endliche Körpererweiterung ist, gibt es nach [1] Satz 5.14 über K algebraische Elemente a_{1}, …, a_{n} ∈ L mit L = K(a_{1}, …, a_{n}). Für jedes i ∈ {1, …, n} zerfällt das Minimalpolynom f_{i} von a_{i} nach Voraussetzung über L in Linearfaktoren. Ebenso zerfällt das Produkt f := f_{1} · . . . · f_{n} ∈ K [T] über L in Linearfaktoren. Ist N die Menge aller Nullstellen vonf in L, so gilt:

L = K(a_{1}, …, a_{n}) ⊆ K(N) ⊆ L.

Folglich ist L = K(N) der Zerfällungskörper von f.

2) ⇒ 3) Wegen 2) und 1.4 gibt es ein f ∈ K [T] und a_{1}, …, a_{n}, b ∈ L mit f = b · (T − a_{1}) · . . . · (T − a_{n}) und L = K(a_{1}, …, a_{n}). Haben L′ und φ : L → L′ die in 3) verlangten Eigenschaften, so gilt f(φ(a_{i})) = φ(f(a_{i})) = φ(0) = 0 für jedes i ∈ {1, …, n}, d.h. φ(a_{i}) ist die Nullstelle des Polynoms f ∈ K [T] für alle i ∈ {1, …, n}. Man erhält φ({a_{1}, …, a_{n}}) ⊆ {a_{1}, …, a_{n}}. Sei nun y ∈ φ(L) beliebig. Folglich existiert ein x ∈ L mit y = φ(x). Da L = K(a_{1}, …, a_{n}) = K[a_{1}, …, a_{n}] nach [1] Korollar 5.8 gilt, existiert ein Polynom g ∈ K [T_{1}, …, T_{n}] mit x = g(a_{1}, …, a_{n}). Weil φ({a_{1}, …, a_{n}}) ⊆ {a_{1}, …, a_{n}} ist und φ nach Voraussetzung ein Körperhomomorphismus ist, erhält man φ(x) = φ(g(a_{1}, …, a_{n})) = g(φ(a_{1}), …, φ(a_{n})) ∈ L. Daraus folgt φ(L) ⊆ L.

3) ⇒ 1) Als endliche Körpererweiterung ist L : K nach [1] 5.13 a) algebraisch. Sei f ein irreduzibles Element von K [T], das eine Nullstelle a in L hat. Wählt man a_{1}, …, a_{n} ∈ L so, dass L = K(a, a_{1}, …, a_{n}) gilt und bezeichnet man für jedes i mit f_{i} das Minimalpolynom von a_{i} über K, so ist L ein Zwischenkörper des Zerfällungskörpers L′ ⊇ K von g := f · f_{1} · . . . · f_{n}. f zerfällt natürlich über L′ in Linearfaktoren. Ist aber b ∈ L′ eine Nullstelle von f, so gibt es nach 2.2 einen K-Automorphismus ψ von L′ mit ψ(a) = b. Wendet man die Bedingung 3) auf den Körperhomomorphismus ψ|L : L → L′ an, so erhält man b = ψ(a) ∈ L; f zerfällt also schon über L in Linearfaktoren.

□

2.4 Beispiele Da die Körpererweiterung ℚ(\sqrt{2}) ⊃ ℚ der Zerfällungskörper des Polynoms T^{2} − 2 ∈ ℚ [T] ist, ist sie normal. Die Körpererweiterung ℚ(\sqrt[4]{2}) ⊇ ℚ(\sqrt{2}) ist als Zerfällungskörper des Polynoms T^{2} − \sqrt{2} ∈ ℚ(\sqrt{2}) [T] ebenfalls normal. Die Körpererweiterung ℚ(\sqrt[4]{2}) ⊃ ℚ ist jedoch nicht normal, denn das Polynom T^{4} − 2 = (T^{2} − \sqrt{2})(T^{2} + \sqrt{2}) = (T − \sqrt[4]{2})(T + \sqrt[4]{2})(T − i\sqrt[4]{2})(T + i\sqrt[4]{2}) ist ein irreduzibles Element von ℚ [T] und hat eine Nullstelle in ℚ(\sqrt[4]{2}), es zerfällt über ℚ(\sqrt[4]{2}) aber nicht in Linearfaktoren.

2.5 Definition Sei K ein Körper und Z ⊇ K der Zerfällungskörper eines nicht-kon-stanten Polynoms f ∈ K [T]. Ferner sei a ein Element von Z. Die natürliche Zahl

μ(f; a) := max{n ∈ ℕ : (T − a)^{n} teilt f in Z [T]}

heißt \underline{Vielfacheit} von f in a. Man nennt a eine \underline{einfache} \underline{Nullstelle} von f, wenn μ(f; a) = 1 gilt. Im Falle μ(f; a) ≥ 2 heißt a \underline{mehrfache} \underline{Nullstelle} von f.

2.6 Definition a) Sei K ein Körper. Ein nicht-konstantes Polynom f ∈ K [T] heißt \underline{separabel}, wenn jeder irreduzible Faktor von f in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen hat.

b) Sei L : K eine Körpererweiterung. Ein Element a ∈ L heißt \underline{separabel} über K, wenn a Nullstelle eines separablen Polynoms f ∈ K [T] ist.

c) Eine Körpererweiterung L : K heißt \underline{separabel}, wenn jedes a ∈ L separabel über K ist.

d) Ein Körper K heißt \underline{vollkommen}, wenn jedes nicht-konstante Polynom aus K [T] separabel ist.

Ist L : K eine Körpererweiterung, so ist ein über K algebraisches a ∈ L offensichtlich genau dann separabel über K, wenn das Minimalpolynom von a über K separabel ist. In 2.12 werden wir sehen, dass jeder Körper der Charakterisitik Null vollkommen ist. Ebenso ist jeder endliche Körper vollkommen.

Mehrfache Nullstellen charakterisiert man in der Analysis durch das Verschwinden der Ableitung. Dieses Verfahren wird hier imitiert.

2.7 Definition Sei R [T] der Polynomring über einem kommutativen Ring. Die Abbildung

D : R [T] → R [T] ,  ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} ↦ ∑_{i=1}^{n} ia_{i}T^{i−1}

heißt \underline{formale} \underline{Differentiation} in R [T]. Sie ist (wie man leicht nachrechnet) eine \underline{Derivation} von R [T], d.h. es gilt

D(af + bg) = aD(f) + bD(g)  und  D(f · g) = f · D(g) + g · D(f)

für alle f, g ∈ R [T] und alle a, b ∈ R.

2.8 Lemma Sei K ein Körper und Z ⊇ K der Zerfällungskörper eines nicht-konstanten Polynoms f ∈ K [T]. Dann gilt für jedes a ∈ Z:

1) μ(f; a) = 1 ⇔ f(a) = 0 und (Df)(a) ≠ 0.

2) μ(f; a) > 1 ⇔ f(a) = 0 und (Df)(a) = 0.

Beweis: Sei r := μ(f; a), dann gibt es nach [1] Lemma 3.12 g ∈ Z [T] mit f = (T − a)^{r}g und g(a) ≠ 0, und man erhält

D(f) = (T − a)^{r−1}(rg + (T − a)D(g)).

1) “⟹“ Aus r = 1 folgt f = (T − a)g und f(a) = 0. Mit Df = g + (T − a)D(g), erhält man (Df)(a) = g(a) ≠ 0.

“⟸“ Falls r ≥2 gilt, ist (Df)(a) = 0. Widerspruch!

2) ist die Negation von 1).

□

Ob ein Polynom über einem Körper K mehrfache Nullstellen in seinem Zerfällungskörper über K hat, kann man feststellen, ohne die Nullstellen zu kennen.

2.9 Lemma Sei K ein Körper, f ein nicht-konstantes Polynom aus K [T] und Z ⊇ K sein Zerfällungskörper. Dann sind äquivalent:

1) f hat in Z mehrfache Nullstellen.

2) f und Df haben in K [T] einen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler.

Beweis: 1) ⇒ 2) Sei a ∈ Z mehrfache Nullstelle von f und g das Minimalpolynom von a über K. Wegen f(a) = (Df)(a) =^{2.8} 0 ist dann nach [1] 5.4 b) g ein gemeinsamer Teiler von f und Df.

2) ⇒ 1) Sei g ∈ K [T] ein gemeinsamer Teiler von f und Df mit grad(g) ≥ 1 und a ∈ Z eine Nullstelle von g. Dann existieren f_{1} und f_{2} aus K [T] mit gf_{1} = f und gf_{2} = Df. Es gilt

g(a) · f_{1}(a) = f(a) = 0  und  g(a) · f_{2}(a) = (Df)(a) = 0,

so dass nach 2.8 a eine mehrfache Nullstelle von f ist.

□

2.10 Satz Sei K ein Körper. Ein \underline{irreduzibles} Polynom f ∈ K [T] ist genau dann separabel, wenn Df ≠ 0 gilt.

Beweis: Sei Z ⊇ K der Zerfällungskörper von f. Ist Df = 0, so ist nach 2.8 jede Nullstelle von f in Z eine mehrfache Nullstelle. f ist dann also nach Definition 2.6 nicht separabel. Ist Df ≠ 0, so ist f separabel. Denn andernfalls hätte f in seinem Zerfällungskörper nicht nur einfache Nullstellen, was nach Lemma 2.9 äquivalent dazu wäre, dass f und Df in K [T] einen nicht-konstanten gemeinsamen Teiler g hätten. Da f irreduzibel in K [T] ist, würde dies zum Widerspruch grad(g) = grad(f) > grad (Df) führen.

□

2.11 Lemma Sei K ein Körper und f ∈ K [T]. Im Falle char(K) = 0 gilt:

Df = 0 ⇔ f ist konstant.

Im Falle char(K) = p > 0 gilt:

Df = 0 ⇔ Es gibt g ∈ K [T] mit f(T) = g(T^{p}).

Beweis: Sei char(K) = 0. “⟹“ Annahme: f ist nicht konstant, d.h. f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} ∈ K [T] mit n ≥ 1. Dann ist Df = ∑_{i=1}^{n} ia_{i}T^{i−1} ∈ K [T] und nach Voraussetzng Df = 0. Daraus folgt

ia_{i} =^{[1] Aufg.11} (i1_{K}) · a_{i} = 0 ∀ i ∈ {1, …, n} mit a_{i} ≠ 0. Dies führt zum Widerspruch, da char(K) = 0. “⟸“ Es gilt K [T] ∋ f = c ≠ 0. Folglich, Df = 0.

Ist p :=char(K) > 0 und f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i}, so ist Df = 0 gleichbedeutend damit, dass p für alle i ∈ {1, …, n} mit a_{i} ≠ 0 ein Teiler von i ist, dass also f von der Gestalt

f = a_{0} + a_{p}T^{p} + a_{2p}T^{2p} + … + a_{mp}T^{mp}

ist. Das war aber zu zeigen.

□

Aus 2.10 und 2.11 folgt unmittelbar:

2.12 Korollar Jeder Körper der Charakteristik Null ist vollkommen.

Beweis: Seien K ein Körper mit char(K) = 0 und f ∈ K [T] ein nicht-konstantes Polynom. Nach [1] Satz 3.27 läßt sich f als Produkt von (endlich vielen) irreduziblen Polynomen darstellen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten. Sei g ein beliebiger irreduzibler Faktor von f. Nach Lemma 2.11 gilt Dg ≠ 0 und nach Satz 2.10 ist g ∈ K [T] separabel und damit auch f.

□

In [1] Satz 7.6 haben wir eine Galoiserweiterung L : K definiert durch die Bedingungen, dass L : K endlich und K der Fixkörper von Gal(L : K) ist. Aufgrund dieser Definition konnten wir den Hauptsatz der Galois-Theorie mit elementaren Hilfsmitteln der Linearen Algebra beweisen. Für die Anwendungen ist es jedoch wichtig, leichter nachprüfbare Kriterien für Galoiserweiterungen zu kennen.

2.13 Theorem Für eine Körpererweiterung L : K sind folgende Aussagen äquivalent:

1) L : K ist eine Galoiserweiterung.

2) Die Körpererweiterung L : K ist endlich, normal und separabel.

3) L ⊇ K ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms aus K [T].

Bevor wir diesen Satz beweisen, notieren wir ein Lemma.

2.14 Lemma Sei L : K eine Galoiserweiterung und a ∈ L. a_{1}, …, a_{n} seien die paarweise verschiedenen Bilder von n K-Automorphismen σ_{i} ∈ Gal(L : K) von a. Dann ist f := (T − a_{1}) · . . . · (T − a_{n}) das Minimalpolynom von a über K.

Beweis: Sei f = ∑_{i=1}^{n} b_{i}T^{i} ∈ L [T]. Zuerst zeigen wir, dass die Koeffizienten von f aus K sind, d.h. f ∈ K [T]. Sei τ ∈ Gal(L : K) beliebig und τ̄ : L [T] → L [T] der zugehörige Polynomringisomorphismus. Dann gilt

τ̄(f) = τ̄(∏_{i=1}^{n}(T − σ_{i}(a))) = ∏_{i=1}^{n}(T − τ(σ_{i}(a))) = ∏_{i=1}^{n}(T − σ_{i}(a)) = f.

Weiter erhält man

τ̄(f) = ∑_{i=0}^{n} τ(b_{i})T^{i} = ∑_{i=0}^{n} b_{i}T^{i} = f.

Der Koeffizientenvergleich ergibt τ(b_{i}) = b_{i} für alle τ ∈ Gal(L : K), d.h. es gilt

b_{i} ∈ L^{G} =^{[1] 7.6} K für alle i ∈ {0, …, n}. Weiterhin ist f normiert, a ist die Nullstelle von f, da id_{L} ∈ Gal(L : K). Bleibt noch zu zeigen, dass f irreduzibel ist. Angenommen, f ist reduzibel. Dann existieren Polynome g, h aus K [T] mit g · h = f und 0 < grad(g) < grad(f). Da g(a) · h(a) = f(a) = 0 gilt, folgt g(a) = 0 oder h(a) = 0. Sei o.B.d.A. g(a) = 0. Dann gibt es zu jedem i ∈ {1, …, n} ein ψ_{i} aus Gal(L : K) mit a_{i} = ψ_{i}(a) und man erhält g(a_{i}) = g(ψ_{i}(a)) = ψ_{i}(g(a)) = 0 für jedes i. Da die Elemente a_{1}, …, a_{n} paarweise verschieden sind, besitzt g n Nullstellen, d.h. grad(g) ≥ n. Widerspruch!

□

Beweis:[von 2.13] 1) ⇒ 2) Nach [1] Satz 7.6 ist jede Galoiserweiterung endlich. Nach 2.14 ist das Minimalpolynom jedes Elementes a ∈ L über K endliches Produkt von paarweise verschiedenen Linearfaktoren aus L [T]. Die Körpererweiterung L : K ist also auch normal und separabel.

2) ⇒ 3) Da die Körpererweiterung L : K endlich und normal ist, ist sie nach 2.3 Zerfällungskörper eines Polynoms f ∈ K [T]. Wir wollen zeigen, dass f notwendigerweise separabel sein muss. Ist g ein irreduzibler Faktor von f und a ∈ L eine Nullstelle von g, so ist g bis auf einen konstanten Faktor gleich dem Minimalpolynom von a über K. Da a separabel über K ist, ist g separabel.

3) ⇒ 1) Sei L : K der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms f ∈ K [T]. Mit G :=Gal(L : K) gilt K ⊆ L^{G} und mit [1] Satz 7.3 folgt |G| = [L : L^{G}] ≤ [L : K] < ∞. Nun zeigen wir durch die Induktion über die Anzahl r der Nullstellen von f in L\K, dass auch K ⊇ L^{G} gilt. Im Falle r = 0 gilt L = K und daher L^{G} = K. Sei nun r ≥1 und a ∈ L\K eine Nullstelle von f. Das Minimalpolynom g von a über K ist ein Teiler von f in K [T]. Setzt man K′ := K(a), so ist L ⊇ K′ der Zerfällungskörper des separablen Polynoms f ∈ K′ [T], das r − 1 Nullstellen in L\K′ hat. Nach Induktionsvoraussetzung ist daher L : K′ eine Galoiserweiterung, so dass es eine endliche Untergruppe G′ von G gibt mit

K′ = L^{G′}  und  G′ = Gal(L : K′) ⊆ G.

Sei nun x ∈ L^{G} ⊆ L^{G′} = K′ = K(a). Ist n :=grad(g), so existiert eine K-Basis {1, a, a^{2}, …, a^{n−1}} von K′ (wegen [1] 5.9) und es gilt

x = c_{n−1}a^{n−1} + … + c_{1}a + c_{0},

wobei c_{0}, …, c_{n−1} die Elemente aus K sind. Sind a = a_{1}, a_{2}, …, a_{n} die Nullstellen von g in L, so gibt es nach 2.2 zu jedem i ∈ {1, …, n} ein φ_{i} ∈ G mit φ_{i}(a) = a_{i} und man erhält

x = φ_{i}(x) = c_{n−1}a_{i}^{n−1} + … + c_{1}a_{i} + c_{0}

für jedes i. Das Polynom

h := c_{n−1}T^{n−1} + … + c_{1}T + (c_{0} − x) ∈ L [T]

hat daher die n Nullstellen a_{1}, …, a_{n}. Wegen grad(h) ≤ n − 1 folgt h = 0 und damit x = c_{0} ∈ K.

□

Mit Hilfe von 2.12 folgt aus 2.13 sofort:

2.15 Korollar Ist K ein Körper der Charakteristik Null, so ist eine Körpererweiterung L : K genau dann eine Galoiserweiterung, wenn sie Zerfällungskörper eines Polynoms aus K [T] ist.

Beweis: Da char(K) = 0, ist K nach 2.12 vollkommen. Und nach 2.13 ist L : K genau dann eine Galoiserweiterung, wenn sie der Zerfällungskörper eines Polynoms aus K [T] ist.

□

3. Die Galoisgruppe eines Polynoms  Alexander Willms

3 Die Galoisgruppe eines Polynoms

Im Folgenden bezeichne f ein rationales Polynom, Z := ZFK_{ℚ}(f) sei der (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) Zerfällungskörper von f über ℚ. Ferner sei G := Gal_{ℚ}(f) = Gal(Z : ℚ) die Galoisgruppe von f. Die Frage ist, zu welcher (endlichen) Gruppe G isomorph ist. Dabei beschränken wir uns hier auf Polynome vom Grade ≤ 4. Daraus folgt, dass G auflösbar ist und dass die Nullstellen von f durch Radikale ausgedrückt werden können. Weiter werden wir annehmen, dass f normiert ist. Dieses kann bei einem beliebigen Polynom durch Teilen des Leitkoeffizienten, der ≠ 0 ist, erreicht werden. Zunächst beschreiben wir die generelle Struktur von G.

3.1 Satz Sei f ∈ ℚ[T], grad(f) = n ≥ 1, G := Gal_{ℚ}(f) die Galoisgruppe von f und N_{f} := {α_{1}, …, α_{r}} ⊆ ℂ (r ≥ 1) die Nullstellenmenge von f. Dann gilt:

a) G ist isomorph zu einer Untergruppe von S_{r}.

b) Ist f irreduzibel, so folgt

i) n teilt |G|.

ii) G ist isomorph zu einer transitiven Untergruppe von S_{n}.

Dabei heißt eine Untergruppe U ≤ S_{n} \underline{transitiv}, falls ∀ i, j ∈ \{1, …, n\} ∃ σ ∈ U : σ(i) = j.

Beweis: a) Sei α_{i} ∈ N_{f} beliebig (1 ≤ i ≤ r) und sei σ ∈ G. Damit ist σ(α_{i}) ∈ N_{f}. Also erzeugt jedes Element σ ∈ G eine Permutation π_{σ} ∈ S_{r}. Definiere

h : G → S_{r} , σ ↦ π_{σ}.

Es ist klar, dass h ein Homomorphismus ist. h ist außerdem injektiv. Dafür ist z.z., dass Kern(h) = {id_{Z}} gilt. Sei also σ ∈ G mit h(σ) = id_{S_{r}} ⇒ σ(α_{i}) = α_{i} ∀ i ∈ {1, …, n} ⇒ σ(c) = c ∀ c ∈ Z ⇒ σ = id_{Z} ⇒ h injektiv. Damit kann G also mit einer Untergruppe von S_{r} identifiziert werden.

b) i) Es gilt [ℚ(α_{1}) : ℚ] = grad(f) = n. Damit folgt nach dem Gradsatz, dass [ℚ(α_{1}) : ℚ] ein Teiler von [Z : ℚ] ist. Da Z : ℚ aber eine Galoiserweiterung ist, folgt [Z : ℚ] = |G| ⇒ [ℚ(α_{1}) : ℚ] | |G| ⇒ n | |G|. ii) Sei i ≠ j beliebig (1 ≤ i, j ≤ n). Dann ex. nach (1.7) ein ℚ-Isomorphismus σ : ℚ(α_{i}) →^{≅} ℚ(α_{j}) , σ(α_{i}) = α_{j}. Durch Fortsetzung dieses Isomorphismus erhält man einen ℚ-Isomorphismus von Z. Damit existiert ein ψ ∈ U ≤ S_{n} mit ψ(α_{i}) = α_{j}, folglich ist U eine transitive Untergruppe von S_{n}.

□

Wir betrachten nun die trivialen Fälle, in denen der Grad von f 1 oder 2 ist.

\underline{grad(f) = 1:} f = T + b ⇒ N_{f} = \{−b\} ⊆ ℚ ⇒ Z = ℚ ⇒ G = \{e\}.

\underline{grad(f) = 2:} f = T^{2} + pT + q ⇒ N_{f} = \{−\frac{p}{2} ± \sqrt{D}\}, wobei D = (\frac{p}{2})^{2} − q ist

⇒ Z = ℚ(\sqrt{D}) ⇒^{f irred.} [Z : ℚ] = 2 = |G| ⇒ G ≅ S_{2} ≅ ℤ_{2}.

Ausarbeitungen im Rahmen des Algebra-Seminars bei Dr. Christian Nelius, WS 2003/2004

3.2 Definition Sei f ∈ ℚ[T], grad(f) = r und N_{f} := {α_{1}, …, α_{n}} ⊆ ℂ (n ≤ r) die Nullstellenmenge von f. Setze

△_{f} := ∏_{i<j}(α_{i} − α_{j}) = (α_{1} − α_{2}) · (α_{1} − α_{3}) · . . . · (α_{n−1} − α_{n}) ∈ Z.

Dann heißt D_{f} := △_{f}^{2} die Diskriminante von f.

3.3 Satz Sei f ∈ ℚ[T] irreduzibel über ℚ, grad(f) = n, N_{f} := {α_{1}, …, α_{n}}. Dann gilt:

a) △_{f} ≠ 0.

b) △_{f} ∈ ℚ ⟺ G ≤ A_{n}.

c) Sei U := Gal(Z : ℚ(△_{f})). Dann ist U ≤ A_{n}.

Beweis: Setze D := D_{f} und △ := △_{f}. Klar ist D ∈ ℚ, da jedes Element von G die Nullstellen von f permutiert und D somit fest lässt. Sei nun σ ∈ G beliebig. Dann gilt: D = σ(D) = σ(△^{2}) = σ(△)^{2} ⇒ σ(△) ∈ {±△}.

a) Annahme: △ = 0 ⇒ es existieren i ≠ j mit α_{i} = α_{j} ⇒ f ist nicht separabel, ein Widerspruch zu (2.12). Folglich △ ≠ 0.

b) \underline{1. △ ∈ ℚ}. Annahme: ∃ σ ∈ G mit sign(σ) = −1 ⇒ σ(△) = −△ (≠ △, da △ ≠ 0) ⇒ σ lässt das Element △ nicht fest, folglich kann △ nicht im Grundkörper ℚ liegen, ein Widerspruch. Damit ist sign(σ) = 1 ⇒ G ≤ A_{n}. \underline{2. △ ∉ ℚ} ⇒ ∃ ψ ∈ G : ψ(△) = −△ ⇒ sign(ψ) = −1 ⇒ G ≰ A_{n}.

c) ℚ(△) ist ein Körper ⇒ −△ ∈ ℚ(△). Darauf wende b) an.

□

Dieser Satz zeigt in Verbindung mit der vorherigen Definition, dass G genau dann eine Untergruppe von A_{n} ist, wenn D_{f} eine Quadratzahl ist (, welches äquivalent dazu ist, dass △ ∈ ℚ). Sei f nun ein über ℚ irreduzibles Polynom vom Grade 3. Nach (3.1) ist G isomorph zu einer transitiven Untergruppe von S_{3}. An dem Untergruppenverband dieser Gruppe sieht man leicht, dass hierfür nur die Gruppen A_{3} und S_{3} selbst in Frage kommen. Falls D_{f} eine Quadratzahl ist, folgt somit sofort G ≅ A_{3} ≅ ℤ_{3}, andernfalls G ≅ S_{3}. Folgendes Lemma gibt eine explizite Formel zur Berechnung von D_{f} in Abhängigkeit von den Koeffizienten von f an.

3.4 Lemma Sei f := T^{3} + aT^{2} + bT + c ∈ ℚ[T] und D_{f} die Diskriminante von f. Dann hat das Polynom g := f(T − \frac{a}{3}) die Form g = T^{3} + pT + q ∈ ℚ[T] und es gilt

D_{f} = −4p^{3} − 27q^{2}.

Beweis: (Idee) Zunächst zeigen wir, dass D_{f} = D_{g} gilt. Dazu beobachte man, dass D_{g} = (α_{1} − \frac{a}{3} − α_{2} + \frac{a}{3})^{2}·(α_{1} − \frac{a}{3} − α_{3} + \frac{a}{3})^{2}·(α_{2} − \frac{a}{3} − α_{3} + \frac{a}{3})^{2} = (α_{1} − α_{2})^{2}·(α_{1} − α_{3})^{2}· (α_{2} − α_{3})^{2} = D_{f} gilt.

Sei nun N_{f} = {α_{1}, α_{2}, α_{3}} ⇒ f = (T − α_{1}) · (T − α_{2}) · (T − α_{3}) = T^{3} − (α_{1} + α_{2} + α_{3})T^{2} + (α_{1}α_{2} + α_{1}α_{3} + α_{2}α_{2})T − α_{1}α_{2}α_{3}. Damit ergeben sich durch Koeffizientenvergleich folgende Beziehungen:

α_{1} + α_{2} + α_{3} = 0 , α_{1}α_{2} + α_{1}α_{3} + α_{2}α_{3} = p , α_{1}α_{2}α_{3} = −q.

Weiterhin gilt, da α_{i} Nullstelle von f ist, dass α_{i}^{3} + pα_{i} + q = 0 ⟺ α_{i}^{3} = −pα_{i} − q.

Diese beiden Bedingungen setzt man nun in die Formel für die Diskriminante ein und benutzt dabei die oben berechneten Abhängigkeiten.

□

Durch diese Formel ist es nun unter Berücksichtigung der vorherigen Überlegungen einfach, zu entscheiden, ob G ≅ ℤ_{3} oder G ≅ S_{3} gilt. Beachtlich ist, dass man dafür nicht die Nullstellen von f kennen muss, sondern G von den Koeffizienten von f abhängt. Hierzu zwei

Beispiele

1. Sei f = T^{3} − 3T + 1 ∈ ℚ[T]. f ist über ℚ irreduzibel, da f(1) ≠ 0 und f(−1) ≠ 0. Weiter ist D_{f} = −4 · (−3)^{3} − 27 · 1^{2} = 108 − 27 = 81 = 9^{2} ⇒ G ≅ ℤ_{3}.

2. Sei g = T^{3} + 3T^{2} − T − 1 ∈ ℚ[T]. Wegen g(1) ≠ 0 und g(−1) ≠ 0 ist g ebenfalls irreduzibel über ℚ. Durch die Substitution T := U − \frac{3}{3} = U − 1 erhält man das Polynom h = U^{3}−UT +2, wobei D_{h} = −4·(−4)^{3}−27·2^{2} = 256−108 = 148 = D_{g}, welches keine Quadratzahl ist. Folglich G ≅ S_{3}.

Nun betrachten wir den Fall, dass grad(f) = 4 gilt, d.h. vorgelegt sei das normierte und irreduzible Polynom f = T^{4} + aT^{3} + bT^{2} + cT + d ∈ ℚ[T].

Nach (3.1) kann G nur isomorph zu einer transitiven Untergruppe von S_{4} sein. Diese sind S_{4}, A_{4}, D_{4} (die Diedergruppe der Ordnung 8), ℤ_{4} und V = ℤ_{2} × ℤ_{2}, die Klein’sche Vierergruppe, welche in den folgenden Überlegungen eine wichtige Rolle spielen wird. Deshalb geben wir hier die Elemente von V explizit an:

V = {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}.

Diese Gruppe enthält also − neben dem neutralen Element − drei Permutationen, die ihrerseits aus je zwei disjunkten Transpositionen bestehen.

Insgesamt gibt es also fünf mögliche Gruppen, zu denen G isomorph sein kann. Wir werden zeigen, dass auch alle Möglichkeiten auftreten, es also zu jeder der obigen Gruppen auch ein Polynom 4. Grades gibt, dessen Galoisgruppe isomorph dazu ist.

Zunächst ist jedoch etwas Vorarbeit nötig. Ein, von f abhängiges Polynom, wird entscheidende Informationen über die Struktur von G liefern, die sogenannte kubische Resolvente von f.

3.5 Definition Sei f ∈ ℚ[T], grad(f) = 4, N_{f} = {α_{1}, …, α_{4}}. Setze

x := α_{1} · α_{2} + α_{3} · α_{4} , y := α_{1} · α_{3} + α_{2} · α_{4} , z := α_{1} · α_{4} + α_{2} · α_{3}.

Dann heißt das Polynom

f_{Res} := (T − x) · (T − y) · (T − z) ∈ ℚ(x, y, z)[T]

die kubische Resolvente von f.

3.6 Lemma Sei f := T^{4} + aT^{3} + bT^{2} + cT + d ∈ ℚ[T]. Dann ist

f_{Res} = T^{3} − bT^{2} + (ac − 4d)T − a^{2}d + 4bd − c^{2}.

Insbesondere ist f_{Res} ∈ ℚ[T].

Beweis: (Idee) Sei N_{f} = {α_{1}, …, α_{4}} ⊆ Z ⇒ f = (T −α_{1})·(T −α_{2})·(T −α_{3})·(T −α_{4}). Nun multipliziere man die einzelnen Faktoren aus führe einen Koeffizientenvergleich mit der ausfaktorisierten Form f = T^{4} + aT^{3} + bT^{2} + cT + d durch. Weiter betrachte man die kubische Resolvente f_{Res} = (T − x) · (T − y) · (T − z) ebenfalls in ihrer ausfaktorisierten Form und nutze anschließend die Definitionen von x, y und z (siehe (3.5)).

□

3.7 Lemma Sei L : K eine Körpererweiterung und seien α_{1}, α_{2} ∈ L algebraisch über K. Es existiere ein Isomorphismus h : K(α_{1}) → K(α_{2}) mit h|K = id_{K} und h(α_{1}) = α_{2}. Dann stimmen die Minimalpolynome von α_{1} und α_{2} über K überein.

Beweis: Sei m_{α_{1}} := ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} das Minimalpolynom von α_{1} über K. Dann ist z.z., dass

α_{2} ebenfalls eine Nullstelle von m_{α_{1}} ist. Sei h̄ der zu h gehörige Isomorphismus der

Polynomringe K(α_{1})[T] und K(α_{2})[T]. Dann gilt h̄(m_{α_{1}}) = h̄ (∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i}) = m_{α_{1}}, da

h|K = id_{K}. Weiter ist

m_{α_{1}}(α_{2}) = ∑_{i=0}^{n} a_{i} · α_{2}^{i} =^{Vor.} ∑_{i=0}^{n} a_{i} · h(α_{1})^{i} = h (∑_{i=0}^{n} a_{i} · α_{1}^{i}) = h (m_{α_{1}}(α_{1})) = h(0) = 0,

also ist α_{2} Nullstelle von m_{α_{1}}.

□

3.8 Lemma Sei f ∈ ℚ[T] ein über ℚ irreduzibles Polynom, grad(f) = 4, f_{Res} die kubische Resolvente von f und N_{f_{Res}} = {x, y, z} die Nullstellenmenge von f_{Res}. Es bezeichne G := Gal_{ℚ}(f) und V die Klein’sche Vierergruppe. Dann gilt:

a) In der bestehenden Galois-Korrespondenz der Körpererweiterung Z : ℚ entspricht der Zwischenkörper ℚ(x, y, z) der Untergruppe G ∩ V.

b) G ∩ V ist Normalteiler in G.

c) ℚ(x, y, z) : ℚ ist eine Galoiserweiterung.

d) Gal(ℚ(x, y, z) : ℚ) ≅ G/(G ∩ V).

Beweis: a) Z : ℚ ist eine Galoiserweiterung. Dann ist z.z., dass ℚ(x, y, z) = Z^{G∩V} gilt. Aufgrund der bestehenden Galoiskorrespondenz können wir Behauptung aber auch gruppentheoretisch beschreiben und hierfür einen Beweis liefern. Es ist also äquivalent z.z., dass G ∩ V = Gal(Z : ℚ(x, y, z)) gilt. ”⊆ ”: Sei σ ∈ G∩V ⇒ σ ∈ V. Damit liegen die Elemente x, y und z im Fixkörper von σ, welches man elementweise nachprüfen kann. Wähle z.B. das Element ψ := (1 3)(2 4) ∈ V und das Element x ∈ ℚ(z). Dann gilt ψ(x) = α_{3} · α_{4} + α_{1} · α_{2} = α_{1} · α_{2} + α_{3} · α_{4} ⇒ x ∈ Fix(ψ). Insgesamt ist σ also nicht nur ein ℚ-Automorphismus von Z, sondern sogar ein ℚ(x, y, z)-Automorphismus von Z. Dies bedeutet aber, dass σ ∈ Gal(Z : ℚ(x, y, z)) gilt. Folglich ist G ∩ V ⊆ Gal(Z : ℚ(x, y, z)). ”⊇ ”: Sei σ ∉ G ∩ V ⇒ σ ∈ G\(G ∩ V) ⇒ ∀ σ : x ∉ Fix(σ) oder y ∉ Fix(σ) oder z ∉ Fix(σ), welches man leicht sieht. Damit ist σ \underline{kein} ℚ(x, y, z)-Automorphismus von Z, also gilt σ ∉ Gal(Z : ℚ(x, y, z)) ⇒ Gal(Z : ℚ(x, y, z)) ⊆ G ∩ V. Insgesamt gilt damit die behauptete Gleichheit.

b) Klar ist G ≤ S_{4}. Außerdem ist V Normalteiler in S_{4}, mithin ist auch G ∩ V ◁ G.

c) und d) folgen direkt aus dem Hauptsatz der Galoistheorie.

□

3.9 Satz Sei f ∈ ℚ[T] ein über ℚ irreduzibles Polynom, grad(f) = 4, f_{Res} := (T − x)(T − y)(T − z) ∈ ℚ[T] die kubische Resolvente von f. Bezeichne m := [ℚ(x, y, z) : ℚ]. Dann gilt:

a) m = 6 ⟺ G ≅ S_{4}.

b) m = 3 ⟺ G ≅ A_{4}.

c) m = 1 ⟺ G ≅ V.

d) m = 2 ⟺ \{ \begin{matrix}G ≅ D_{4} & , falls firreduzibel über ℚ(x, y, z)ist \\ G ≅ ℤ_{4} & , sonst \end{matrix} \}.

Beweis: ℚ(x, y, z) ist ZFK von einem Polynom dritten Grades, also ist [ℚ(x, y, z) : ℚ] ≤ 3 · 2 · 1 = 6. Weiter gilt nach dem Gradsatz:

[Z : ℚ] = [Z : ℚ(x, y, z)] · [ℚ(x, y, z) : ℚ].

Wegen [Z : ℚ] = |G| und [Z : ℚ(x, y, z)] = |G ∩ V | (3.8d) folgt sofort [ℚ(x, y, z) : ℚ] =

\frac{|G|}{|G ∩ V |}, damit ist m ein Teiler von [Z : ℚ].

Insgesamt ergibt sich, dass m ∈ {1, 2, 3, 6} gilt. Aufgrund dieser Feststellung und der Tatsache, dass alle möglichen Gruppen im Satz erwähnt werden, genügt es, in jedem Fall die Implikation ”⇐” zu zeigen.

a) G ≅ S_{4} ⇒ G ∩ V = V ⇒ m = |G/V | = \frac{24}{4} = 6.

b) G ≅ A_{4} ⇒ G ∩ V = V ⇒ m = |G/V | = \frac{12}{4} = 3.

c) G ≅ V ⇒ G ∩ V = G ⇒ m = |G/G| = \frac{4}{4} = 1.

d) G ≅ D_{4} ⇒ G ∩ V = V ⇒ m = |G/V | = \frac{8}{4} = 2.

G ≅ Z_{4} ⇒ |G ∩ V | = 2 ⇒ m = |G/V | = \frac{4}{2} = 2.

Es bleibt nun der Fall m = 2, in dem die Äquivalenz der Aussagen tatsächlich gezeigt werden muss. Sei dazu N_{f} = {α_{1}, …, α_{4}} ⊆ Z und gelte ferner G ≅ D_{4}. Damit ist G ∩ V = V und V ≅ Gal(Z : ℚ(x, y, z)). Da V eine transitive Untergruppe von S_{4} ist, gibt es nach (1.7) für alle i, j ∈ {1, 2, 3, 4} ein σ ∈ V, so dass

σ : ℚ(x, y, z)(α_{i}) ⟶ ℚ(x, y, z)(α_{j}) , σ(α_{i}) = α_{j}

ein Isomorphismus ist. Nach (3.8) sind α_{i} und α_{j} damit Nullstellen des gleichen irreduziblen Polynoms g ∈ ℚ(x, y, z). Damit sind α_{1}, …, α_{4} Nullstellen von g und grad(g) ≥ 4 ⇒ g = (T − α_{1}) · (T − α_{2}) · (T − α_{3}) · (T − α_{4}) · h für h ∈ ℚ(x, y, z) geeignet. Es folgt, dass f ein Teiler von g ist. Da g irreduzibel ist, ist grad(f) = 0 oder grad(f) = grad(g). Offensichtlich gilt grad(f) = grad(g). Also ist f ∼ g, welches die Irreduzibilität von f über ℚ(x, y, z) impliziert. Gelte andererseits G ≅ ℤ_{4} ⇒ |G ∩ V | = 2 ⇒ G ∩ V ist \underline{keine} transitive Untergruppe von S_{4}, es gibt also ein Paar i ≠ j mit der Eigenschaft, dass es \underline{kein} σ ∈ G ∩ V mit σ(α_{i}) = α_{j} gibt. Analog zu oben gibt es nun wieder einen Isomorphismus

ϑ : ℚ(x, y, z)(α_{i}) ⟶ ℚ(x, y, z)(α_{j}) , ϑ(α_{i}) = α_{j}.

ϑ ist somit die Einschränkung eines ℚ(x, y, z)-Automorphismus von Z. Solch ein Isomorphismus existiert jedoch nicht, da es in G kein Element π mit π(i) = j gibt. Damit können α_{i} und α_{j} nicht die Nullstellen des gleichen über ℚ(x, y, z) irreduziblen Polynoms sein. Seien g_{1}, g_{2} ∈ ℚ(x, y, z) zwei irreduzible und verschiedene Polynome, so dass g_{1}(α_{i}) = 0 und g_{2}(α_{j}) = 0 gilt. Dann folgt f = g_{1} · g_{2} · h, wobei h ∈ ℚ(x, y, z) geeignet gewählt ist. Also ist f reduzibel über ℚ(x, y, z).

Damit ist Satz (3.9) vollständig bewiesen.

□

Abschließend behandeln wir einige

Beispiele

1. Sei f = T^{4} − T + 1 ∈ ℚ[T]. f ist irreduzibel und die kubische Resolvente von f ist f_{Res} = T^{3} − 4T − 1, welches ein über ℚ irreduzibles Polynom ist, da f_{Res}(1) ≠ 0 und f_{Res}(−1) ≠ 0. Weiter gilt D_{f_{Res}} = 4^{4} − 27 = 229, welches kein Quadrat in ℚ ist. Folglich ist Gal_{ℚ}(f_{Res}) ≅ S_{3} und damit ergibt sich nach (3.9), dass m = 6 gilt. Man erhält G ≅ S_{4}.

2. Sei f = T^{4} − 6T^{2} + 8T + 28 ∈ ℚ[T]. f hat keine rationale Nullstelle, da f normiert ist und für jeden Teiler t von 28 folgt, dass f(t) ≠ 0 ist. Dass f keinen Teiler vom Grade 2 hat, zeigt man durch Koeffizientenvergleich (f lässt sich im Falle der Reduzibilität durch (T^{2} + aT + b) · (T^{2} + cT + d) darstellen, welches man zum Widerspruch führt). Also ist f irreduzibel über ℚ. Weiter ist f_{Res} = T^{3} + 6T^{2} − 112T − 736. Substituiere mit T := U − 2. Man erhält das Polynom g = U^{3}−124U −496, welches irreduzibel über ℚ ist, da es keine Teiler des Absolutglieds 496 als Nullstelle hat. Es ist D_{g} = D_{f_{Res}} = 4 · 124^{3} − 27 · 496^{2} = (31 · 32)^{2}, also eine Quadratzahl. Damit ist Gal_{ℚ}(f_{Res}) ≅ A_{3} ⇒ m = 3 ⇒ G ≅ A_{4}.

3. Sei f = T^{4} + 1 ∈ ℚ[T]. Das Polynom f(T + 1) = T^{4} + 4T^{3} + 6T^{2} + 4T + 2 ist nach Eisenstein (p = 2) irreduzibel über ℚ, mithin ist auch f irreduzibel über ℚ. Weiter ist f_{Res} = T^{3} − 4T = T · (T − 2) · (T + 2). Man sieht leicht, dass f_{Res} nur rationale Nullstellen hat, folglich ist [ℚ(x, y, z) : ℚ] = 1 und G ≅ V.

4. Sei f = T^{4} − 2 ∈ ℚ[T]. f ist nach Eisenstein (p = 2) irreduzibel über ℚ und f_{Res} = T^{3} + 8T = T · (T^{2} + 8) = T · (T + 2 · \sqrt{2} · i) · (T − 2 · \sqrt{2} · i) ⇒ x = 0, y = 2 · \sqrt{2} · i, z = −2 · \sqrt{2} · i ⇒ ℚ(x, y, z) = ℚ(2 · \sqrt{2} · i) = ℚ(α) mit α = \sqrt{2} · i. m_{α} = T^{2} + 2 ist Minimalpolynom von α über ℚ ⇒ [ℚ(\sqrt{2} · i) : ℚ] = 2. Wegen \sqrt[4]{2} ∉ ℚ(\sqrt{2} · i) ist f irreduzibel über ℚ(\sqrt{2} · i). Folglich ist G ≅ D_{4}.

5. Sei f = T^{4} + 4T^{2} + 2 ∈ ℚ[T]. f ist nach Eisenstein irreduzibel über ℚ und f_{Res} = T^{3} − 4T^{2} − 8T + 32 = (T − 4) · (T^{2} − 8) ⇒ x = 4, y = −\sqrt{8}, z = \sqrt{8} ⇒ ℚ(x, y, z) = ℚ(\sqrt{8}) = ℚ(2 · \sqrt{2}) = ℚ(\sqrt{2}). [ℚ(\sqrt{2}) : ℚ] = 2 ⇒ G ≅ D_{4} oder G ≅ ℤ_{4}. Die Substitution U := T^{2} liefert das Polynom f̃ = U^{2} + 4U + 2 mit Nf̃ = \{−2 − \sqrt{2}, −2 + \sqrt{2}\} ⇒ N_{f} = \{±\sqrt{−2 ± \sqrt{2}}\} ⇒ f = (T^{2} − (−2 + \sqrt{2})) · (T^{2} − (−2 − \sqrt{2})) ∈ ℚ(\sqrt{2})[T] ⇒ f reduzibel über ℚ(\sqrt{2}) ⇒ G ≅ ℤ_{4}.

4. Der Fundamentalsatz der Algebra  José Sánchez–Romero

4 Der Fundamentalsatz der Algebra

4.1 Satz Ist K ein Körper, so sind folgende Aussagen äquivalent:

1) Jedes nicht-konstante Polynom aus K[X] hat eine Nullstelle in K.

2) Jedes nicht-konstante Polynom aus K[X] zerfällt über K in Linearfaktoren, d.h, es gibt a_{1}, ..., a_{n}, b ∈ K mit f = b(X − a_{1})...(X − a_{n}).

3) Ein Polynom aus K[X] ist genau dann irreduzibel, wenn es den Grad 1 hat.

4) Ist L ⊃ K eine algebraische Körpererweiterung, so gilt L = K.

Beweis:

1) ⇒ 2) Sei f ∈ K[X] nicht konstant,so gibt es nach 1) ein a ∈ K mit f(a) = 0 und daher ein g ∈ K[X] mit f = (X − a)g. Ist g konstant, so ist man fertig, anderfalls wendet man 1) auf g an und setzt das Verfahren fort, bis das Verfahren ein konstantes Polynom liefert. Das Verfahren terminiert, da der Grad des Faktorpolynoms immer um eins kleiner wird.

2) ⇒ 3) ist klar

3) ⇒ 4) Jedes a ∈ L ist algebraisch über K, sein Minimalpolynom f über K ist irreduzibel und normiert und es gilt f(a) = 0. Wegen 3) gilt daher f = X − a, also X − a ∈ K[X], so dass a ∈ K folgt.

4) ⇒ 1) Sei f ∈ K[X] nicht konstant. Wegen 1.3 (Satz von Kronecker) gibt es einen Oberkörper L von K und ein a ∈ L mit f(a) = 0. Die Körpererweiterung K(a) ⊃ K ist nach 4.3 algebraisch und wegen 4) ist K(a) = K ⇒ a ∈ K. Also hat f eine Nullstelle in K.

4.2 Definition Ein Körper K heisst \underline{algebraisch} \underline{abgeschlossen}, wenn er eine (und damit jede) der Bedingungen aus Satz 4.1 erfüllt.

4.3 Satz Sei L ⊃ K eine Körpererweiterung. Dann gilt:

1) Ist die Körpererweiterung L ⊃ K endlich, so ist sie algebraisch und es gibt a_{1}, ..., a_{n} ∈ L mit L = K(a_{1}, ..., a_{n}).

2) Gibt es über K algebraische Elemente a_{1}, ..., a_{n} ∈ L mit L = K(a_{1}, ..., a_{n}), so ist die Körpererweiterung endlich und damit algebraisch.

Beweis:

1) Sei m die Dimension des K-Vektorraums L, so sind für jedes a ∈ L die Elemente 1, a, a^{2}, ..., a^{m} linear abhängig über K. Zu jedem a ∈ L gibt es daher ein Polynom f ∈ K[X]\{0} mit f(a) = 0. Ausserdem gilt L = K(a_{1}, ..., a_{m}) für jede Basis (a_{1}, ..., a_{m}) des K-Vektorraums L.

2) Es wird durch vollständige Induktion bewiesen. Ist a ∈ L algebraisch über K und gilt L = K(a), so folgt [L : K] < ∞, da ein Minimalpolynom von a über K existiert, das einen endlichen Grad besitzt, der gleich [L : K] ist. Sei nun n ∈ ℕ \ {0} und die Behauptung richtig für alle Körpererweiterungen L′ ⊃ K, bei denen L′ durch Adjunktion von n über K algebraischen Elementen an K entsteht. Gilt dann L = K(a_{1}, ..., a_{n+1}) mit über K algebraischen Elementen a_{1}, ..., a_{n+1} ∈ L so folgt [L : K] = [K(a_{1}, ..., a_{n})(a_{n+1}) : K(a_{1}, ..., a_{n})][K(a_{1}, ..., a_{n}) : K] < ∞, da ein Minimalpolynom von a_{n+1} über K(a_{1}, ..., a_{n}) existiert, das einen endlichen Grad besitzt, der gleich [K(a_{1}, ..., a_{n})(a_{n+1}) : K(a_{1}, ..., a_{n})] ist, und wegen Voraussetzung [K(a_{1}, ..., a_{n}) : K] < ∞, denn a_{n+1} ist auch algebraisch über K(a_{1}, ..., a_{n}).

4.4 Lemma Jeder Körper der Charakteristik Null ist vollkommen.

4.5 Satz Sei L ⊃ K eine Körpererweiterung.Gibt es über K separable Elemente a_{1}, ..., a_{n} ∈ L mit L = K(a_{1}, ..., a_{n}), so gilt:

1) Die Körpererweiterung L ⊃ K ist endlich und separabel.

2) Es gibt einen Oberkörper L′ von L, so dass L′ ⊃ K eine Galoiskörpererweiterung ist.

Beweis:

Sei L ⊃ K eine Körpererweiterung. Gibt es über K separable Elemente a_{1}, ..., a_{n} ∈ L mit L = K(a_{1}, ..., a_{n}). Wegen 4.3.2 ist die Körpererweiterung L ⊃ K endlich. Für jedes i ∈ {1, ..., n} ist ferner das Minimalpolynom f_{i} von a_{i} über K separabel, so dass auch das Polynom f = f_{1} · ... · f_{n} ∈ K[X] separabel ist. Sei L′ der Zerfällungskörper von f über L, dann ist L′ auch der Zerfällungskörper von f über K,da L = K(a_{1}, ..., a_{n}) ist. Wegen 2.13 ist L′ ⊃ K eine Galoiserweiterung und auch separabel. L ⊃ K ist daher auch separabel.

4.6 Definition Sei G eine Gruppe, e ihr neutrales Element und p eine Primzahl.

a) G heisst \underline{p − Gruppe}, wenn es zu jedem a ∈ G ein (i.a. von a abhängiges) k ∈ N gibt mit a^{p^{k}} = e.

b) Eine Untergruppe H von G heisst \underline{p − Untergruppe} von G, wenn H eine p-Gruppe ist.

c) Eine Untergruppe S von G heisst \underline{p − Sylow − Gruppe} in G, wenn S eine maximale p–Untergruppe von G ist, d.h. wenn gilt:

i) S ist eine p–Untergruppe von G.

ii) Es gibt keine p–Untergruppe H von G mit S ⊊ H.

4.7 Satz Sei p eine Primzahl und seien k, m, n natürliche Zahlen mit n = p^{k}m und p ∤ m. Dann ist p^{k−l+1} für kein l ∈ \{1, ..., k\} Teiler von \binom{n}{p^{l}}.

4.8 Lemma Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. k, m ∈ ℕ seien so gewählt, dass |G| = p^{k}m und p ∤ m gilt. Dann gibt es zu jedem l ∈ 0, ..., k eine Untergruppe H von G mit |H| = p^{l}.

Beweis:

Sei l ∈ {1, ..., k} fest gewählt und sei X die Menge aller Teilmengen von G der Ordnung p^{l}. Bekanntlich gilt |X| = \binom{n}{p^{l}}, wenn man die Ordnung von G mit n bezeichnet. Da im Falle l = 0 nichts zu beweisen ist, wird l ≠ 0 vorausgesetzt. Die Abbildung τ : G × X ⟶ X, (a, U) ↦ aU := {au : u ∈ U} ist eine Operation von G auf X. Aus dem letzten Satz folgt, dass p^{k−l+1} kein Teiler der Ordnung von X ist, so dass es wegen der Bahnengleichung ein U ∈ X mit p^{k−l+1} ∤ |G(U)| gibt.

Es soll gezeigt werden, dass H = Iso_{τ} (G; U) eine Untergruppe der Ordnung p^{l} von G ist: Zunächst gibt es r, v ∈ ℕ mit |H| = p^{r}v und p ∤ v und ebenso s, w ∈ ℕ mit [G : H] = p^{s}w und p ∤ w. Da τ eine Operation der Gruppe G auf die Menge X ist und H = Iso_{τ} (G; U) ist, dann gilt [G : H] = |G(U)|, also s ≤ k−l, und aus |G| = |H|·[G : H] folgt p^{k}m = p^{r+s}vw, also k = r + s ≤ r + k − l. Man erhält l ≤ r, so dass p^{l} ein Teiler der Ordnung von H ist. Da für ein u ∈ U die Abbildung H → U, a ↦ au, injektiv ist, hat man anderseits auch |H| ≤ |U| = p^{l}.

4.9 Korollar Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl, so gilt:

1) Ist p ein Teiler der Ordnung von G, so gibt es ein a ∈ G mit ord(a) = p.

2) G ist genau dann eine p–Gruppe, wenn die Ordnung von G eine Potenz von p ist.

3) Gilt |G| = p^{k}m mit k, m ∈ ℕ und p ∤ m, so ist jede Untergruppe von G der Ordnung p^{k} eine p–Sylow–Gruppe in G.

Beweis:

1) Ist p ein Teiler der Ordnung von G, so gibt es ein k, m ∈ ℕ mit k ≠ 0, p ∤ m und |G| = p^{k}m. Nach 4.8 gibt es eine Untergruppe H der Ordnung p von G. Als Gruppe von Primzahlordnung ist H zyklisch und für jedes erzeugende Element a von H gilt ord(a) = p.

2) Ist e das neutrale Element von G und gilt |G| = p^{k}, so folgt a^{p^{k}} = e für jedes a ∈ G d.h. G ist eine p–Gruppe. Sei umgekehrt G eine endliche p–Gruppe. Im Fall G = {e} ist alles klar. Gilt G ≠ {e} und ist q ein Primfaktor von |G|, so gibt es nach 1) ein a ∈ G mit ord(a) = q. Da G eine p–Gruppe ist, ist ord(a) eine Potenz von p, so dass q = p folgt. Daher ist p der einzige Primfaktor von |G|.

3) Sei S eine Untergruppe der Ordnung p^{k} von G und H eine p–Untergruppe von G mit S ⊂ H. Nach 2) gibt es ein l ∈ ℕ mit |H| = p^{l} und aus S ⊂ H folgt k ≤ l. Da die Ordnung von H ein Teiler der Ordnung von G ist, erhält man l = k und damit H = S.

4.10 Satz Sei G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl und k ∈ ℕ so, dass die Ordnung von G durch p^{k}, aber nicht durch p^{k+1} teilbar ist. Ist dann S_{0} eine p–Sylow–Gruppe in G mit |S_{0}| = p^{k}, so gibt es zu jeder p–Untergruppe H von G ein b ∈ G mit H ⊂ bS_{0}b^{−1}.

4.11 Satz (von Sylow) Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl, so gilt:

1) Eine Untergruppe S von G ist genau dann eine p–Sylow–Gruppe in G, wenn |S| = p^{k} gilt und |G| durch p^{k}, aber nicht durch p^{k+1} teilbar ist.

2) Zu jeder p–Untergruppe H von G gibt es eine p–Sylow–Gruppe S in G mit H ⊂ S.

Beweis:

1) Dass jede Untergruppe der Ordnung p^{k} eine p–Sylow–Gruppe in G ist, wenn |G| durch p^{k}, aber nicht durch p^{k+1} teilbar ist, wurde in 4.9 bewiesen. Sei umgekehrt S eine p–Sylow–Gruppe in G und |G| sei durch p^{k}, aber nicht durch p^{k+1} teilbar. Nach 4.8 gibt es eine Untergruppe S_{0} der Ordnung p^{k} von G. S_{0} ist wegen 4.9 eine p–Sylow–Gruppe in G. Wendet man den letzten Hilfsatz auf H = S_{0} an, so erhält man |S| = |S_{0}| = p^{k}.

2) Nach 4.8 und 1) gibt es in G eine p–Sylow–Gruppe S_{0}. Daher folgt die Behauptung aus dem vorigen Hilfsatz und 1).

4.12 Lemma Jede Galoiserweiterung ist einfach. Sei K ein Körper der Charakteristik 0, so ist jede endliche Körpererweiterung L ⊃ K einfach.

4.13 Satz Ist f ∈ ℝ[X] ein Polynom mit ungeradem Grad, so hat f mindestens eine reelle Nullstelle.

Beweis:

Der Beweis ist eine Übungsaufgabe zur reelen Analysis, bei der der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen benutzt wird, der auf der Vollständigkeit von ℝ beruht.

4.14 Satz Ist f ∈ ℂ[X] ein Polynom vom Grad 2, so zerfällt f über ℂ in Linearfaktoren.

Beweis:

Zum Beweis dieses Satzes benutzt man eine Folgerung aus den Anordnungsaxiomen von ℝ, dass jede nicht negative reelle Zahl eine reelle Quadratwurzel besitzt. Auf Grund dieser Tatsache kann man nämlich für jedes z = x + iy ∈ ℂ, x, y ∈ ℝ, die komplexe

Zahl w = \sqrt{\frac{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}} + i\sqrt{\frac{−x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}} , bilden. Wegen w^{2} = z falls y ≥ 0 und w̄^{2} = z falls y < 0 hat jede komplexe Zahl eine komplexe Quadratwurzel. Daher kann man zu jedem Polynom f = aX^{2} +bX +c ∈ ℂ[X] vom Grad 2 die komplexen Zahlen \frac{−b±\sqrt{b^{2}−4ac}}{2a} bilden. Diese sind die Nullstellen von f.

4.15 Satz (Fundamentalsatz der Algebra) Der Körper ℂ der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.

1. Beweis:

Wegen 4.1 genügt es zu zeigen, dass ℂ keine algebraische Erweiterung gestattet. Es genügt sogar zu zeigen, dass ℂ keine endliche Erweiterung gestattet. Angenommen, dass ℂ keine endliche Erweiterung gestattet. Sei α ∈ K beliebig (K algebraische Erweiterung) ⇒ α ist algebraisch über ℂ ⇒ ℂ(α) : ℂ ist eine endliche Körpererweiterung ⇒ ℂ(α) = ℂ ⇒ α ∈ ℂ, also K = ℂ.

Sei K ⊇ ℂ endlich, dann wegen 4.3.4 ist K algebraisch mit K = ℂ(a_{1}, ..., a_{n}) mit a_{i} ∈ K und nach 4.4 ist K separabel über ℂ. Dann ist K = ℝ(b_{1}, ..., b_{m}) auch separabel über ℝ (K ⊇ ℂ ⊇ ℝ). Wegen 4.5 existiert eine Galois-Erweiterung L ⊇ ℝ mit L ⊇ K. Also genügt es zu zeigen L = ℂ. Wir haben ℝ ⊆ ℂ ⊆ K ⊆ L. Da L eine Galois-Erweiterung ist und [ℂ : ℝ] gleich 2 ist,ist 2 ein Teiler der Ordnung von G. Sei G = Gal(L : ℝ) und p = 2. Nach 4.8 existiert eine 2-Sylow-Gruppe S in G. Sei L^{S} der Fixkörper von S. Da L eine Galois-Erweiterung ist und L^{S} der Fixkörper von S ist ⇒ [L^{S} : ℝ] = [G : S]. [G : S] ist ungerade wegen 4.11.1 (da S eine 2-Sylow-Gruppe in G ist). Nach 4.10 gibt es ein Element a ∈ L mit L^{S} = ℝ(a). Der Grad des Minimalpolynoms von a über ℝ ist gleich [L^{S} : ℝ], also folgt aus 4.13 L^{S} = ℝ und damit G = S. Aus 4.13 folgt, dass es b ∈ ℝ so dass f(b) = 0 existiert. Dann L = ℝ(a) ⊇ ℝ(b) ⊇ ℝ und [ℝ(a) : ℝ] = grad(f) und 1 = [ℝ(b) : ℝ]. Da f das Minimalpolynom von a ist ⇒ f ist irreduzibel ⇒ f ist auch das Minimalpolynom von b ⇒ [ℝ(b) : ℝ] = grad(f) ⇒ ℝ(a) = ℝ(b). G ist also eine 2-Gruppe. Da H = Gal(L : ℂ) eine Untergruppe von G ist, gibt es wegen des Satzes von Lagrange ein r ∈ ℕ mit ord(H) = 2^{r}. Wäre r > 0, so gäbe es eine Untergruppe H′ ⊂ H mit ord(H′) = 2^{r−1}. Sei L′ = F ix(L, H′), so ist [L‘ : ℂ] = [H : H′] = 2. Das kann aber nicht sein nach 4.14 ⇒ r = 0 ⇒ ord(H) = 1 und also |Gal(L : ℂ)| = 1. Nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie ist [L : ℂ] = 1 und also L = ℂ.

2. Beweis:

Wegen 4.1 genügt es zu zeigen, dass jedes nicht-konstante f ∈ ℂ[X] eine komplexe Nullstelle besitzt. Ist \overline{f} das Polynom mit den komplexen konjugiert Koeffizienten, so hat f · \overline{f} reelle Koeffizienten. Sei a ∈ ℂ eine Nullstelle von f · \overline{f}, so ist a Nullstelle von f oder von \overline{f}. Im letzteren Fall gilt aber 0 = \overline{f}(a) = \overline{\overline{f}(a)} = f(\overline{a}). Also ist \overline{a} ∈ ℂ eine Nullstelle von f. Es genügt also zu zeigen, dass jedes nicht–konstante f ∈ ℝ[X] eine komplexe Nullstelle besitzt. Sei n = grad(f), so können wir n = 2^{l}m mit ungeradem m schreiben und Induktion über l führen. Für l = 0 folgt die Behauptung aus Satz 4.13 (da n ungerade ist). Sei l > 0 und K ⊃ ℂ der Zerfällunskörper von f und f = (x − a_{1}) · ... · (x − a_{n}) mit a_{1}, ..., a_{n} ∈ K. Wir definieren b_{rs} = a_{r} + a_{s} + λa_{r}a_{s} für ein festes λ ∈ ℝ und r, s ∈ {1, ..., n} sowie g = ∏_{1≤r≤s≤n}(x − b_{rs}) ∈ K[X]. Für jedes φ ∈ Gal(K : ℝ) gilt φ({a_{1}, ..., a_{n}}) ⊆ {a_{1}, ..., a_{n}} wegen f ∈ ℝ[X] und Satz 2.2. Die Koeffizienten von g sind invariant unter Gal(K : ℝ). Da ferner K der Zerfällungskörper von (x^{2} + 1)f über ℝ ist, ist K ⊃ ℝ eine Galois–Erweiterung (Korollar 2.15) und ℝ ein Körper der Charakteristik Null ist, erhält man also g ∈ ℝ[X]. Weiter ist grad(g) = \frac{1}{2}n(n + 1) = 2^{l−1}m(n + 1) und wegen l ≥ 1 ist m(n + 1) ungerade (da l ≥ 1 ist, ist n gerade und damit n + 1 ungerade). Nach Induktionsannahme hat g eine komplexe Nullstelle, d.h, es gibt zu unserem vorgegebenen λ ∈ ℝ Indizes r, s ∈ {1, ..., n} mit r ≤ s, so dass b_{rs} = a_{r} + a_{s} + λa_{r}a_{s} in ℂ liegt. Da es unendlich viele reelle Zahlen aber nur endlich viele solcher Indizen gibt, können wir λ, μ ∈ ℝ mit λ ≠ μ und r ≤ s finden, so dass a_{r} + a_{s} + λa_{r}a_{s} und a_{r} + a_{s} + μa_{r}a_{s} in ℂ liegen. Daraus folgt a_{r} · a_{s} ∈ ℂ und a_{r} + a_{s} ∈ ℂ (denn wenn man beides subtrahiert, erhält man (λ − μ)a_{r}a_{s} ∈ ℂ und damit a_{r}a_{s} ∈ ℂ), d.h, das Polynom (x − a_{r})(x − a_{s}) ∈ K[X] hat komplexe Koeffienten. Nach 4.14 sind a_{r} und a_{s} komplexe Zahlen. Also hat f eine komplexe Nullstelle.

Die Lemmata 4.4 und 4.12 und die Sätze 4.7 und 4.10 wurden in der Vorlesung Algebra bewiesen.

5. Einheitswurzeln und Kreisteilungspolynome  Anna Hillebrand

5 Einheitswurzeln und Kreisteilungspolynome

In dieser Ausarbeitung wird gezeigt, wie der Grad einer n-ten Einheitswurzel über ℚ bestimmt wird. Die Grundlage dafür bietet [2], Seiten 169 bis 175.

5.1 Definition Sei K ein Körper und n ∈ ℕ \ {0}. Ein Element a eines Oberkörpers von K heißt n-te Einheitswurzel über K, wenn

a^{n} = 1

gilt, d.h. wenn a Nullstelle (NS) des Polynoms T^{n} − 1 ist.

5.2 Bezeichnung Sei K ein Körper, dann bezeichnet K_{n} den Zerfällungskörper (ZFK) von T^{n} − 1 über K und E_{n}(K) die Menge der in K_{n} liegenden n-ten Einheitswurzeln (EW) über K.

5.3 Bemerkung Sei n ∈ ℕ \ {0}. Dann gilt:

1. E_{n}(ℚ) = \{e^{( \frac{2·π·i·k}{n})} | k ∈ \{0, …, n − 1\}\} ⊂ ℂ.

2. K_{n} = K(E_{n}).

3. Ist K ein Körper der Charakteristik p > 0, so gilt ∀m, n ∈ ℕ \ {0} mit n = m · p:

K_{m} = K_{n} und E_{n}(K) = E_{m}(K).

4. Für jeden Körper K ist E_{n}(K) eine zyklische Untergruppe von (K_{n}^{∗}, ·). Ihre Ordnung ist n, wenn char(K) |̸ n ist, d.h. das Polynom T^{n} − 1 ∈ K[T] hat in diesem Fall keine mehrfache NS in seinem ZFK.

5. Für jeden Körper K ist K_{n} : K eine Galois-Erweiterung (GE).

Beweis: Zu 1) Trivial, denn es gilt (e^{( \frac{2·π·i·k}{n})})^{n} = 1. Zu 2) Adjungiert man die Nullstellen, so erhält man den ZFK K_{n}. Zu 3) Sei K_{n} der ZFK von T^{n} − 1. Dann gilt:

1. \underbrace{(T^{m} − 1) · . . . · (T^{m} − 1)}_{p−mal} = (T^{m} − 1)^{p} =^{p∈ℙ} (T^{mp} − 1) = T^{n} − 1

2. ε ∈ E_{n}(K) ⇔ ε^{n} − 1 = 0 = (ε^{m} − 1)^{p} ⇔ ε^{m} − 1 = 0 ⇔ ε ∈ E_{m}(K)

⇒ E_{n}(K) = E_{m}(K)

3. K_{n} = ZF K_{K}(T^{n} − 1) = K(E_{n}(K)) = K(E_{m}(K)) = K_{m}

Zu 4) Hierzu reicht es aus zu zeigen, dass E_{n}(K) eine Untergruppe von K_{n}^{∗} ist. Dazu sei f = T^{n} − 1. U_{1}) ε_{1}, ε_{2} ∈ E_{n}(K) ⇒ ε_{1} · ε_{2} ∈ E_{n}(K)

(ε_{1} · ε_{2})^{n} = ε_{1}^{n} · ε_{2}^{n} = 1 · 1 = 1 ⇒ ε_{1} · ε_{2} ∈ E_{n}(K)

U_{2}) 1 ∈ E_{n}(K)

f(1) = 1^{n} − 1 = 1 − 1 = 0 ⇒ 1 ∈ E_{n}(K)

U_{3}) ε ∈ E_{n}(K) ⇒ ε^{−1} ∈ E_{n}(K)

f(ε^{−1}) = (ε^{−1})^{n} − 1 = (ε^{n})^{−1} − 1 = 1 − 1 = 0 ⇒ ε^{−1} ∈ E_{n}(K)

Da nun E_{n}(K) eine endliche Untergruppe von (K_{n}^{∗}, ·) ist, folgt aus [1] Satz (3.39) , dass E_{n}(K) zyklisch ist. Es gilt | E_{n}(K) |= n, falls char(K) |̸ n. Dazu sei ε ∈ E_{n}(K). f(ε) = 0 ⇔ ε^{n} − 1 = 0 und (Df)(ε) ≠ 0 ⇔ n · ε^{n−1} ≠ 0, denn char(K) |̸ n. Daraus folgt aus (2.8) des Algebra-Seminars, f hat nur einfache Nullstellen, ist also seperabel. Zu 5) Da nach 4) T^{n}−1 für char(K) |̸ n separabel ist, können wir aus (2.13) des Algebra-Seminars schließen, dass K_{n} : K eine GE ist. Mit Hilfe von 3) folgt diese Aussage auch für den Fall char(K) | n.

□

5.4 Definition Sei n ∈ ℕ \ {0}. Die Gruppe (ℤ_{n}^{∗}, ·) heißt die Einheitengruppe von ℤ_{n} .

ℤ_{n}^{∗} = {[a]_{n}| a ∈ ℤ, ggT (a, n) = 1}

Ist φ(n) die Anzahl der natürlichen Zahlen m mit 1 ≤ m ≤ n, die zu n teilerfremd sind, so heißt die Abbildung φ : ℕ \ {0} ⟶ ℕ, n ↦ φ(n) die Eulersche φ-Funktion.

5.5 Satz 1. Für jedes n ∈ ℕ \ {0} gilt:

ℤ_{n}^{∗} = {m + nℤ | m ∈ {0, …, n − 1}, ggT (m, n) = 1}.

2. Für jedes n ∈ ℕ \ {0} gilt:

ord(ℤ_{n}^{∗}) = φ(n).

3. Für alle teilerfremden m,n ∈ ℕ \ {0} gilt

φ(mn) = φ(m)φ(n).

4. Ist n ∈ ℕ \ {0, 1} und gilt n = p_{1}^{l_{1}} · . . . · p_{r}^{l_{r}}, wobei p_{1}, …, p_{r} die verschiedenen Primteiler von n sind, so gilt

φ(n) = n(1 − \frac{1}{p_{1}} ) · . . . · (1 − \frac{1}{p_{r}})

Beweis: Diese Beweise sind Wiederholungen aus [1] oder aus den Grundzügen der Algebra (GdA). Es wird dem ambitionierten Leser überlassen, diese nachzulesen. Zu 1) GdA (6.14) Zu 2) [1](1.23) Zu 3) [1] Aufgabe 9a) und (1.25) Zu 4) Zu zeigen: φ(p^{k}) = p^{k} − p^{k−1}.

ggT (a, p^{k}) = 1 ⇔ ggT (a, p) = 1 ⇔ p |̸a

Daher sind unter den Zahlen von 1 bis p^{k} genau p^{k−1} Zahlen nicht teilerfrend zu p^{k}. Daraus folgt, dass φ(p^{k}) = p^{k} − p^{k−1} ist. Insgesamt erhält man für n mit seiner PFZ n = p_{1}^{l_{1}} · . . . · p_{r}^{l_{r}}

φ(n) = n · (1 − \frac{1}{p_{1}} ) · . . . · (1 − \frac{1}{p_{r}})

□

5.6 Definition Sei K ein Körper und n ∈ ℕ mit char(K) |̸ n. Eine n-te Einheitswurzel ε über K heißt primitiv, wenn sie die Gruppe E_{n}(K) erzeugt. Die Menge der primitiven n-ten Einheitswurzeln über K bezeichnen wir mit P E_{n}(K).

5.7 Bemerkung Sei K ein Körper, n ∈ ℕ und char(K) |̸ n. Dann gilt:

1. ε ∈ P E_{n}(K) ⇒ K_{n} = K(ε)

2. ε ∈ P E_{n}(K), m ∈ ℕ, so liegt ε^{m} in P E_{n}(K) genau dann, wenn m und n teilerfremd sind. Daraus ergibt sich, dass es genau φ(n) primitive n-te Einheitswurzeln über K gibt.

3. Für jeden Teiler d von n mit d > 0 ist E_{d}(K) ⊂ E_{n}(K) und

P E_{d}(K) = {ε| ε ∈ E_{n}(K), ord(ε) = d}.

4. Die Mengen P E_{d}(K) mit d|n und d > 0 sind paarweise disjunkt und es gilt

E_{n}(K) = ⋃_{{d|n \atop d>0}} P E_{d}(K).

Beweis: Zu 1)K_{n} = K(P E_{n}(K)) = K({ε^{d}|1 ≤ d ≤ n, ggT (d, n) = 1} = K(ε) Zu 2) Diese Aussage gilt allgemein für endliche zyklische Gruppen. Da φ(n) die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen angibt, gibt es genau φ(n) primitive Einheitswurzel über K. Zu 3) Hierzu sind 2 Richtungen zu zeigen. ” ⊆ ”ε ∈ P E_{d}(K) ⇒ ord(ε) = d, ε ∈ E_{n}(K) ” ⊇ ”ε ∈ E_{n}(K), ord(ε) = d ⇒ ε^{d} = 1 ⇒ ε^{n} = 1(da d|n) ⇒ ε ∈ E_{n}(K) z.z.: ε ∈ P E_{d}(K). ε^{d} = 1 ⇒ ε ∈ E_{d}(K). Das bedeutet, dass < ε > eine Untergruppe von E_{d}(K) sein muß. Da | < ε > | = d ist, folgt sogar, dass ε ein erzeugendes Element ist. Zu 4) ” ⊇ ” Klar, denn die Menge der primitiven Einheitswurzeln, deren Ordnung teilerfremd zur Gruppenordnung ist, ist als zyklische Untergruppe immer enthalten.

” ⊆ ” Sei ε ∈ E_{n}(K) ⇒^{2)} ord(ε) = d mit d|n ⇒ ε ∈ P E_{d}(K).

□

Den letzten Teil des Beweises kann man durch Umstellen nutzen, um die Anzahl der pimitive Einheitswurzeln auszurechnen. Denn

n = |E_{n}(K)| = | ⋃_{d|n} P E_{d}(K)| = ∑_{d|n} |P E_{d}(K)| =^{1)} ∑_{d|n} φ(d)

5.8 Beispiele Errechnen der n-ten (primitiven) Einheitswurzeln

a) n = 8 \underline{EW} ε := e^{( \frac{2·π·i·k}{8} )}; k ∈ \{0, …, 7\} \underline{primitive EW} φ(8) = | \{k | 1 ≤ k < 8, ggT (k, 8) = 1\} | = 4

P E_{8}(K) = {ε, ε^{3}, ε^{5}, ε^{7}}

b) n = 7 \underline{EW} ε := e^{( \frac{2·π·i·k}{7} )}; k ∈ \{0, …, 6\} \underline{primitive EW} φ(7) = | \{k | 1 ≤ k < 7, ggT (k, 7) = 1\} | = 6

Ausarbeitungen im Rahmen des Algebra-Seminars bei Dr. Christian Nelius, WS 2003/2004

P E_{7}(K) = {ε, ε^{2}, ε^{3}, ε^{4}, ε^{5}, ε^{6}}

5.9 Definition Sei K ein Körper, n ∈ ℕ und ε_{1}, …, ε_{φ(n)} seien die primitiven n-ten Einheitswurzeln über K. Das Polynom

Φ_{n}(T) := (T − ε_{1}) · . . . · (T − ε_{φ(n)}) ∈ K_{n}[T]

heißt das n-te Kreisteilungspolynom (KTP) von K.

5.10 Satz Sei K ein Körper, n ∈ ℕ und char(K) |̸ n. Dann gilt für das n-te Kreisteilungspolynom Φ_{n} von K:

1. grad(Φ_{n}) = φ(n)

2. T^{n} − 1 = ∏_{{d|n \atop d>0}} Φ_{d}

3. Die Koeffizienten von Φ_{n} sind von der Form m · 1_{K} mit m ∈ ℤ, wobei 1_{K} das Einselement von K ist.

Beweis: Zu 1) Klar, dass grad(Φ_{n}) = φ(n) gilt, denn wie in (5.7) gezeigt, existieren genau φ(n) primitive n-te Einheitswurzeln. Zu 2) Beh.: T^{n} − 1 = ∏_{{d|n \atop d>0}} Φ_{d}. Durch (5.7)3) kann ich den Ausdruck ∏_{{d|n \atop d>0}} Φ_{d} umschreiben

in ∏_{d|n} ∏_{ε∈P E_{d}(K)}(T − ε^{d}) . Zusammengefasst bedeutet das ∏_{ε∈E_{n(K)}}(T − ε). Das ist eben

genau der gewünschte Term T^{n} − 1. Zu 3) Dieser Beweis wird mit vollständiger Induktion nach n geführt. IA : n = 1 : Φ_{1} = T − 1 Klar! IV: Sei n > 1 beliebig und die Beh. richtig für alle k < n, d.h. Φ_{k} hat ganzzahlige Koeffizienten für alle k < n. IS: Es gilt T^{n} − 1 = Φ_{n} · ∏_{{d|n \atop n>d>0}} Φ_{d}. Nach IV ist ∏ Φ_{d} ein Polynom mit ganzzahligen

Koeffizienten. Division mit Rest in ℤ[T] ergibt, dasss auch Φ_{n} lauter ganzzahlige Koeffizienten hat.

□

Hieraus ergibt sich eine Formel für die rekursive Berechnung von Kreisteilungspolynomen, wie man in den folgenden Beispielen sieht.

5.11 Beispiele Mit Hilfe von (5.10) 2) können wir nun rekursiv KTP berechnen:

T^{n} − 1 = ∏_{{d|n \atop d>0}} Φ_{d} = Φ_{n} · ∏_{{d|n \atop n>d>0}} Φ_{d}

Φ_{n} = \frac{T^{n} − 1}{∏_{{d|n \atop n>d>0}} Φ_{d}}

1. Sei n = p, p ∈ ℙ

Φ_{p} = \frac{T^{p} − 1}{T − 1} = T^{p−1} + … + T + 1

2. Sei n = 6

Φ_{6} = \frac{T^{6} − 1}{(T − 1) · (T + 1) · (T^{2} + T + 1)} = T^{2} − T + 1

3. KTP für n ≤ 11

\begin{matrix}n & Φ_{n} \\ 1 & T − 1 \\ 2 & T + 1 \\ 3 & T^{2} + T + 1 \\ 4 & T^{2} + 1 \\ 5 & T^{4} + T^{3} + T^{2} + T + 1 \\ 6 & T^{2} − T + 1 \\ 7 & T^{6} + T^{5} + T^{4} + T^{3} + T^{2} + T + 1 \\ 8 & T^{4} + 1 \\ 9 & T^{6} + T^{3} + 1 \\ 10 & T^{4} − T^{3} + T^{2} − T + 1 \\ 11 & T^{10} + T^{9} + T^{8} + T^{7} + T^{6} + T^{5} + T^{4} + T^{3} + T^{2} + T + 1 \end{matrix}

5.12 Satz Sei K ein Körper und n ∈ ℕ und char(K) |̸ n. Dann gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

Gal(K_{n} : K) → ℤ_{n}^{∗}

der Galois-Gruppe von K_{n} : K in die Einheitengruppe ℤ_{n}^{∗}. Die Galois-Gruppe von K_{n} : K ist also insbesondere abelsch.

Beweis: Zuerst wird gezeigt, dass jedes σ ∈ Gal(K_{n} : K) E_{n}(K) auf sich abbildet. z.z.: ε ∈ E_{n}(K) ⇒ σ(ε) ∈ E_{n}(K). ε^{n} = 1 ⇒ σ(ε^{n}) = σ(1) = 1 ⇒ (σ(ε^{n})) = (σ(ε))^{n} = 1 ⇒ σ(ε) ∈ E_{n}(K). Da σ injektiv ist, folgt daraus, dass σ(E_{n}(K)) = E_{n}(K) ist. Und wir erhalten die Abbildung σ : E_{n}(K) → E_{n}(K). Da σ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist, gilt weiterhin, dass ord(ε) = ord(σ(ε)). Sei η ∈ P E_{n}(K). Dann folgt σ(η) ∈ P E_{n}(K) und es gibt ein zu n teilerfremdes m mit σ(η) = η^{m}. Gilt außerdem σ(η) = η^{l} mit l ∈ ℕ, dann erhält man:

η^{m} = η^{l} | ·η^{−l}
η^{m}η^{−l} = 1_{K}
η^{m−l} = 1_{K}

Daraus folgt insgesamt, dass n | (m − l) , denn ord(η) = n. Auf diese Weise erhält man eine Abbildung

h : (Gal(K_{n} : K), ∘) → (ℤ_{n}^{∗}, ·)
σ ↦ [m]_{n} = {b | b ∈ ℤ, b ≡ m (mod n)}

Es bleibt nun noch zu zeigen, dass h ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Seien dazu τ, σ ∈ Gal(K_{n} : K) mit h(τ ∘ σ) = [m]_{n} , falls η^{m} = τ(σ(η)), h(τ) = [l]_{n} , falls η^{l} = τ(η) und h(σ) = [k]_{n} , falls η^{k} = σ(η) Z.z.: h(τ ∘ σ) = h(τ) · h(σ), also [l]_{n} · [k]_{n} = [m]_{n}

η^{m} = τ(σ(η)) = τ(η^{k}) =^{τ Körperhom.} (τ(η))^{k} = (η^{l})^{k} = η^{l·k}
η^{m} = η^{l·k} | ·η^{−m}
1_{K} = η^{l·k−m}

⇒ ord(η) | l · k − m ⇒ n | l · k − m ⇒ [l · k]_{n} = [m]_{n} ⇒ [l]_{n} · [k]_{n} = [m]_{n}. \underline{h ist injektiv}: Z.z.: Kern(h) = \{id_{K_{n}}\}. Kern(h) = {σ | σ ∈ Gal(K_{n} : K), h(σ) = [1]_{n}}. Sei h(σ) = [1]_{n}. Z.z.: σ = id_{K_{n}} , das ist gleichbedeutend mit σ(α) = α (∀α ∈ K_{n}) h(σ) = [k]_{n} = [1]_{n} , falls η^{k} = σ(η)

k = 1 + l · n für ein l ∈ ℕ
η^{k} = η^{1+l·n} = η · (η^{n})^{l} = η
⇒ σ(η) = η.

Sei α ∈ K_{n} = K(η) ⇒ α = ∑_{i=0}^{φ(n)−1} a_{i}η^{i} mit a_{i} ∈ K = F ix(Gal(K_{n} : K))

σ(α) = ∑ \underbrace{σ(a_{i})}_{=a_{i}} \underbrace{σ(η)}_{=η} ^{i} = ∑ a_{i}η^{i} = α.

Es existiert also ein injektiver Gruppenhomomorphismus

Gal(K_{n} : K) → ℤ_{n}^{∗}

Da ℤ_{n}^{∗} abelsch ist, ist auch Gal(K_{n} : K) abelsch.

□

Der Abschluss und gleichzeitig der Höhepunkt dieser Ausarbeitung soll nun die Verschärfung von (5.12) auf den Fall K = ℚ sein.

5.13 Satz Sei n ∈ ℕ \ {0}, Φ_{n} ∈ ℤ[T] das n-te KTP und ℚ_{n} der ZFK des Polynoms T^{n} − 1 über ℚ. Dann gilt:

1. Φ_{n} ist irreduzibel über ℚ.

2. [ℚ_{n} : ℚ] = φ(n).

3. Es gibt einen Gruppenisomorphismus Gal(ℚ_{n} : ℚ) → ℤ_{n}^{∗}.

Beweis: Da 2) und 3) aus 1) folgen, werde ich zunächst die Folgerungen aus 1) darlegen und dann auf 1) eingehen. Zu 2) Aus 1) folgt, dass Φ_{n} irreduzibel und damit MP von jeder primitiven n-ten EW η ∈ ℚ_{n} ist. Aus ℚ_{n} = ℚ(η) folgt [ℚ_{n} : ℚ] = φ(n). Zu 3) Wegen [ℚ_{n} : ℚ] = φ(n) =| ℤ_{n}^{∗} | folgt, dass der injektive Gruppenhomomorphismus Gal(ℚ_{n} : ℚ) → ℤ_{n}^{∗} aus (5.12) ein Gruppenisomorphismsus ist.

Zu 1) Es genügt zu zeigen, dass Φ_{n} irreduzibel über ℤ ist. Da ℤ[T] ein faktorieller Ring ist, besitzt Φ_{n} einen irreduziblen Faktor f ∈ ℤ[T] vom Grade ≥ 1, d.h. Φ_{n} = f · g mit f, g ∈ ℤ[T] normiert, f irreduzibel. Wir beweisen zunächst die Behauptung: (∗) Ist η eine beliebige Nullstelle von f, so gilt f(η^{d}) = 0 für alle d ∈ ℕ mit 1 ≤ d ≤ n und ggT (d, n) = 1. \underline{1.Fall:} d = p ∈ ℙ, ggT (p, n) = 1, d.h. p |̸ n

f(η) = 0 ⇒ Φ_{n}(η) = f(η) · g(η) = 0 ⇒ η ∈ P E_{n}(ℚ) ⇒ η^{p} ∈ P E_{n}(ℚ) ⇒
0 = Φ_{n}(η^{p}) = f(η^{p}) · g(η^{p})

\underline{Annahme:} f(η^{p}) ≠ 0 Dann muss g(η^{p}) = 0 gelten, so dass η Nullstelle des Polynoms h := g(T^{p}) ∈ ℤ[T] ist. Da f das MP von η über ℚ ist, folgt f | h in ℚ[T] und daher auch in ℤ[T], da f, h ∈ ℤ[T]. Es existiert also ein h_{0} ∈ ℤ[T] mit

h = f · h_{0} (in ℤ[T]).

Der natürliche Homomorphismus ν : ℤ → ℤ_{p} induziert einen surjektiven Ringhomomorphismus

ν̄ : ℤ[T] → ℤ_{p}[T]

q = ∑_{j=0}^{r} b_{i}T^{j} ⟼ q̄ = ∑_{j=0}^{r}[b_{j}]T^{j}.

Daher gilt in ℤ_{p}[T]

h̄ = \overline{f · h_{0}} = f̄· h̄_{0}.

Wegen char(ℤ_{p}) = p folgt

ḡ(T^{p}) = (ḡ(T))^{p}

und damit

ḡ^{p} = h̄ = f̄· h̄_{0}

Sei λ̄ ∈ ℤ_{p}[T] ein irreduzibler Faktor von f̄. Dann ist λ̄ auch ein Faktor von ḡ^{p} und damit von ḡ. Also hat

f̄· ḡ = \overline{f · g} = Φ̄_{n}

λ̄^{2} als Faktor. Da Φ̄_{n} ein Teiler von T^{n} − ¯1 ∈ ℤ_{p}[T] ist, hat dann T^{n} − ¯1 eine mehrfache Nullstelle im Widerspruch zu (4) aus (5.3). Folglich gilt f(η^{p}) = 0. \underline{2.Fall:} Sei d ∈ ℕ mit 1 ≤ d ≤ n und ggT (n, d) = 1 beliebig, d besitze die PFZ d = p_{1} · . . . · p_{s}. Dann folgt ggT (p_{j}, n) = 1 für alle j = 1, 2, …, s, d.h. p_{j} |̸ n. Wegen p_{1} |̸ n ist nach dem 1. Fall η^{p_{1}} eine Nullstelle von f. Wegen p_{2} |̸ n ist dann auch

(η^{p_{1}})^{p_{2}} = η^{p_{1}p_{2}}

eine Nullstelle von f, usw. Schließlich ist η^{p_{1}·p_{2}·...·p_{s}} = η^{d} eine Nullstelle von f. Damit ist (∗) bewiesen. f besitzt mindestens eine Nullstelle η (grad(f) ≥ 1), die auch Nullstelle von Φ_{n} ist, d.h. η ist eine primitive nte Einheitswurzel. Wegen P E_{n}(ℚ) = {η^{d}|1 ≤ d ≤ n, ggT (d, n) = 1} ist nach (∗) jede primitive n-te Einheitswurzel Nullstelle von f, d.h.

grad(Φ_{n}) ≥ grad(f) ≥ |P E_{n}(ℚ)| = φ(n) = grad(Φ_{n}).

Daraus folgt grad(f) = grad(Φ_{n}). Aus Φ_{n} = f · g ergibt sich damit grad(g) = 0, also g = 1, da g normiert ist. Folglich ist Φ_{n} = f irreduzibel über ℤ und damit auch irreduzibel über ℚ.

□

6. Endliche Körper  Annemarie Schulz

6 Endliche Körper

In dieser Ausarbeitung wird gezeigt, dass endliche Körper als Zerfällungskörper geeigneter Polynome auftreten und dass endliche Körper bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind. Dabei baut diese Arbeit auf [2], Seite 162 bis 166 auf.

6.1 Bemerkung Ist K ein endlicher Körper und P sein Primkörper, so gilt

|K| = (char(K))^{[K:P]}.

Die Anzahl der Elemente von K ist also eine Primzahlpotenz.

Beweis: Die Charakteristik eines endlichen Körpers ist nach [1] Bemerkung 2.14 immer eine Primzahl, so dass nach [1] Satz 2.13 b) gilt P := P (K) ≅ ℤ_{p}. Daraus folgt, dass der Primkörper von K genau p Elemente hat. Da K ein endlicher Körper ist, ist auch der Grad der Körpererweiterung K : P endlich. Der n-dimensionale P -Vektorraum K ist isomorph zu P^{n}, so dass |K| = |P^{n}| = |P |^{n} = p^{n} = (char(K))^{[K:P]} folgt.

□

6.2 Satz Ist K ein endlicher Körper, so gilt

∏_{a∈K^{∗}} a = −1

Beweis: Ist M := {a ∈ K^{∗} : a = a^{−1}} = {a ∈ K : a^{2} = 1}, so gilt

∏_{a∈K^{∗}} a = ∏_{a∈M} a,

da sich aufgrund der Kommutativität von K^{∗} die Elemente, die nicht zu sich selbst invers sind, in dem Produkt gegenseitig aufheben. Ein Element a ∈ K liegt genau dann in M, wenn a Nullstelle des Polynoms T^{2}−1 ∈ K[T] ist. Dieses hat aber nur die Nullstellen +1 und −1. Durch Einsetzen der Nullstellen ergibt sich die Behauptung.

□

6.3 Korollar (Satz von Wilson) Für jede Primzahl p gilt

(p − 1)! ≡ −1(mod p).

Beweis: Durch Anwendung von Satz 6.2 auf den endlichen Körper ℤ_{p} erhalten wir:

[−1]_{p} = ∏_{a∈Z_{p}^{∗}} a = [p − 1]_{p} · [p − 2]_{p} · . . . · [1]_{p} = [(p − 1) · (p − 2) · . . . · 1]_{p} = [(p − 1)!]_{p}

⟺ (p − 1)! ≡ −1(mod p).

□ 6.4 Satz Ist K ein Körper, so ist jede endliche Untergruppe von (K^{∗}, ·) zyklisch.

Beweis: Wir betrachten die endliche abelsche Gruppe (U, ·). Sei n := |U|. Die Menge {ord(b)|b ∈ U} ⊆ ℕ der Ordnungen aller Elemente aus U ist endlich und besitzt daher ein größtes Element m. Sei a ∈ U mit ord(a) = m. Wir zeigen anschließend

(∗)∀b ∈ U : ord(b)|m.

Hieraus ergibt sich dann die Behauptung: Aus (∗) folgt mit ord(b) · t = m (t ∈ ℕ)

(∗∗)∀b ∈ U : b^{m} = (b^{ord(b)})^{t} = 1_{K}^{t} = 1_{K}.

Nun betrachten wir das Polynom f := T^{m} − 1 ∈ K[T]. Bezeichnet N die Menge der in K gelegenen Nullstellen von f, so gilt nach [1] Satz 3.14 |N| ≤ grad(f) = m. Für ein beliebiges b ∈ U folgt wegen (∗∗) f(b) = 0, also b ∈ N. Folglich U ⊆ N und |U| ≤ |N| ≤ m = ord(a) ≤ |U|, woraus sich |U| = ord(a) ergibt. Aus < a >⊆ U und | < a > | = ord(a) = |U|, folgt dann aber U =< a >, d.h. U ist zyklisch mit a als erzeugendem Element.

Nachweis von (∗): Wir nehmen an, dass ein Element c ∈ U mit ord(c) |̸m existiert. Sei l := ord(c). Wegen der Möglichkeit der eindeutigen Primfaktorzerlegung muss eine Primzahl p geben, die als Faktor von l mit einer höheren Potenz vorkommt als als Faktor von m, d.h. l = p^{λ} · l′ mit ggT (p, l′) = 1, m = p^{μ} · m′ mit ggT (p, m′) = 1, λ > μ. Es folgt

ord(a^{p^{μ}}) = \frac{ord(a)}{p^{μ}} = \frac{m}{p^{μ}} = \frac{p^{μ}m′}{p^{μ}} = m′, ord(c^{l′}) = \frac{ord(c)}{l′} = \frac{l}{l′} = \frac{p^{λ}l′}{l′} = p^{λ}.

Sei d := a^{p^{μ}} · c^{l′} ∈ U. Da a^{p^{μ}} und c^{l′} vertauschbar und ihre Ordnungen teilerfremd sind, ergibt sich

ord(d) = ord(a^{p^{μ}} · c^{l′}) = ord(a^{p^{μ}}) · ord(c^{l′}) = m′ · p^{μ} = m · \underbrace{p^{λ−μ}}_{≥2} > m = ord(a).

Dies steht im Widerspruch dazu, dass a als ein Element größter Ordnung aus U gewählt war. Damit ist die Gültigkeit von (∗) nachgewiesen.

□

6.5 Korollar Ist K ein endlicher Körper mit q Elementen, so gilt:

1. (K^{∗}, ·) ist zyklisch.

2. Es gibt ein a ∈ (K^{∗}, ·), so dass K = {0, 1, a, …, a^{q−2}}.

3. Jedes Element von K ist Nullstelle des Polynoms T^{q} − T ∈ K[T].

Beweis: zu 1.) Da K ein endlicher Körper ist, ist K^{∗} selbst eine Untergruppe von K^{∗} und somit nach Satz 6.4 zyklisch.

zu 2.) Da K ein Körper mit q Elementen ist, folgt |K^{∗}| = q − 1. Nach 1) ist K^{∗} zyklisch, somit existiert ein Element a ∈ K^{∗} mit < a >= {1, a, …, a^{q−2}} und K = {0, 1, a, …, a^{q−2}}.

zu 3.) Ein Element a von K ist genau dann Nullstelle des Polynoms T^{q} − T ∈ K[T], wenn a^{q} = a gilt. Dies gilt für jedes Element von K, denn aus der Gruppentheorie wissen wir, dass a^{q−1} = 1_{K} für alle a ∈ K^{∗} gilt, da |K^{∗}| = q − 1. Daraus folgt a^{q} = a für alle a ∈ K^{∗} und somit auch für alle a ∈ K.

□

6.6 Bemerkung Ist K ein Körper der Charakteristik p > 0, so ist die Abbildung

σ_{K} : K ⟶ K, x ↦ x^{p}

ein (injektiver) Körperhomomorphismus. σ_{K} heißt Frobenius-Homomorphismus von K.

Beweis: Nach [1] Satz 2.10 ist jeder Körperhomomorphismus injektiv. Es genügt also zu zeigen, dass σ_{K} ein Körperhomomorphismus ist. Da für jedes k ∈ \{1, …, p − 1\} die Zahl p ∈ ℙ ein Teiler des Binomialkoeffizienten \binom{p}{k} ist, folgt mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes (x + y)^{p} = x^{p} + y^{p} für alle x, y ∈ K. Trivialerweise gilt auch (x · y)^{p} = x^{p} · y^{p} für alle x, y ∈ K und 1_{K}^{p} = 1_{K}. Dies ist gerade die Bedingung dafür, dass σ_{K} ein Körperhomomorphismus ist.

□

6.7 Bemerkung Es gilt

1. Der Frobenius-Homomorphismus eines endlichen Körpers ist ein Automorphismus.

2. Für jede Primzahl p ist der Frobenius-Homomorphismus des Körpers ℤ_{p} die Identität.

Beweis: zu 1.) Der Frobenius-Homomorphismus ist als Körperhomomorphismus injektiv. Da jede injektive Abbildung einer endlichen Menge in sich auch surjektiv ist, folgt die Behauptung sofort.

zu 2.) Es ist zu zeigen, dass die Abbildung ℤ_{p} ⟶ ℤ_{p}, [x]_{p} ↦ [x^{p}]_{p} für jede Primzahl p die Identität ist. Für alle [x]_{p} ∈ ℤ_{p}^{∗} gilt [x^{p}]_{p} = [x]_{p}^{p} = [x]_{p} · [x]_{p}^{p−1} = [x]_{p} · [1]_{p} = [x]_{p}. Außerdem wird das Nullelement bei einem Körperhomomorphismus immer auf das Nullelement geschickt.

□

6.8 Satz Ein Körper K der Charakteristik p > 0 ist genau dann vollkommen, wenn sein Frobenius-Homomorphismus σ_{K} surjektiv ist.

Beweis: Sei K ein Körper der Charakteristik p > 0. ” ⇒ ” Ist K vollkommen, so ist nach Definition für jedes a ∈ K das Polynom f := T^{p} − a ∈ K[T] separabel. Sei g ein in K[T] irreduzibler Faktor von f, L ⊇ K sein Zerfällungskörper und b ∈ L eine Nullstelle von g. Dann ist b ∈ L auch eine Nullstelle von f und es folgt b^{p} = a. Dann gilt f = T^{p} − b^{p} = (T − b)^{p} ∈ L[T], da p ∈ ℙ, so dass es ein n ∈ {1, …, p} mit g = (T − b)^{n} gibt. Da f separabel ist, hat g nach Definition nur einfache Nullstellen in L. Daraus folgt n = 1 und b ∈ K. Zu jedem a ∈ K gibt es also ein b ∈ K mit a = b^{p} = σ_{K}(b). Somit ist σ_{K} surjektiv.

” ⇐ ” Sei nun σ_{K} surjektiv. Wir nehmen an, dass K nicht vollkommen ist. Dann existiert ein nicht-separables Polynom f ∈ K[T]. Daraus folgt, dass es einen irreduzbiblen Faktor g ∈ K[T] von f gibt, der mehrfache Nullstellen in seinem Zerfällungskörper hat. Damit existiert ein irreduzibles Polynom g ∈ K[T] mit mehrfachen Nullstellen im Zerfällungskörper. Dann folgt nach Lemma 2.11, dass es ein Polynom h ∈ K[T] mit g(T) = h(T^{p}) gibt. Wir erhalten

g(T) = a_{0} + a_{1}T^{p} + … + a_{n−1}(T^{p})^{n−1} + a_{n}(T^{p})^{n}

mit a_{0}, …, a_{n} ∈ K. Da nach Voraussetzung σ_{K} surjektiv ist, gibt es zu jedem i ∈ {0, …, n} ein b_{i} ∈ K mit b_{i}^{p} = a_{i}. So erhalten wir

g(T) = b_{0}^{p} +b_{1}^{p}T^{p} +…+b_{n}^{p}(T^{p})^{n} = b_{0}^{p} +b_{1}^{p}T^{p} +…+b_{n}^{p}(T^{n})^{p} = \underbrace{(b_{0} + b_{1}T + … + b_{n}T^{n})}_{=:t∈K[T], da b_{i}∈K} ^{p}

⇒ t|g. t ist ein echter Teiler, da wir die trivialen Fälle grad(t)=0 oder grad(t)=grad(f) ausschließen können. Denn mit grad(t)=0 folgt t = b_{0} und g = b_{0}^{p} und somit ist g als konstantes Polynom nicht irreduzibel über K. Außerdem gilt grad(t)≠ grad(f), denn grad(t)=n und grad(g)=np > n, da p ∈ ℙ. Somit führt dies zum Widerspruch, da g über K irreduzibel ist und damit keine echten Teiler besitzt. Also ist K vollkommen.

□

6.9 Korollar Jeder endliche Körper ist vollkommen.

Beweis: Nach Satz 6.8 ist ein endlicher Körper K genau dann vollkommen, wenn σ_{K} surjektiv ist. Wir wissen nach Bemerkung 6.7, dass σ_{K} ein Automorphismus und damit surjektiv ist.

□

6.10 Satz Für jede Primzahl p und n ∈ ℕ \ {0} gilt:

1. Ist K ⊇ ℤ_{p} der Zerfällungskörper des Polynoms T^{p^{n}} − T ∈ ℤ_{p}[T], so ist K ein Körper mit p^{n} Elementen.

2. Ist K ein Körper mit p^{n} Elementen und P sein Primkörper, so ist K ⊇ P Zerfällungskörper des Polynoms T^{p^{n}} − T ∈ P [T].

3. Je zwei Körper mit p^{n} Elementen sind isomorph.

Beweis: zu 1.) Sei M die Menge der Nullstellen von f := T^{p^{n}} − T in K. Wir zeigen zunächst, dass M ein Zwischenkörper von K : ℤ_{p} ist. Dann muss K mit dieser Menge übereinstimmen, denn nach Voraussetzung ist K := ZF K_{ℤ_{p}}(f) und somit der kleinste Körper, der alle Nullstellen von f enthält. Da die Gruppe ℤ_{p}^{∗} die Ordnung p − 1 hat, gilt a^{p−1} = 1, also a^{p} = a und a^{p^{n}} = a für alle a ∈ ℤ_{p}^{∗}, damit auch für alle a ∈ ℤ_{p}. Somit ist ℤ_{p} in M enthalten. Sind a, b ∈ M, so erhalten wir (a±b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} ±b^{p^{n}} = a±b und (a·b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} ·b^{p^{n}} = a·b.

Außerdem gilt (b^{−1})^{p^{n}} = (\frac{1}{b})^{p^{n}} = \frac{1^{p^{n}}}{b^{p^{n}}} = \frac{1}{b} = b^{−1}, falls b ≠ 0 und somit b^{−1} ∈ M. M ist demnach ein Körper und stimmt mit K überein. Wegen D(f) = −1 ≠ 0 hat f nach Lemma 2.8 nur einfache Nullstellen in M. Daraus folgt |K| = |M| = grad(f) = p^{n}. K ist also ein Körper mit p^{n} Elementen.

zu 2.) Da die Gruppe K^{∗} die Ordnung p^{n} − 1 hat, gilt a^{p^{n}−1} = 1 und somit a^{p^{n}} = a für alle a ∈ K^{∗}, damit auch für alle a ∈ K. Daraus folgt, dass alle Elemente aus K Nullstellen von f sind. Da das Polynom T^{p^{n}} − T in einem Oberkörper von P höchstens p^{n} Nullstellen hat und |K| = p^{n}, ist K die Menge seiner Nullstellen im Zerfällungskörper. K ⊇ P ist daher Zerfällungskörper dieses Polynoms.

zu 3.) Sind K und K′ Körper mit p^{n} Elementen, so gilt nach Bemerkung 6.1 char(K) = p = char(K′). Daraus folgt, dass die Primkörper P := P (K) und P′ := P (K′) nach [1] Satz 2.13 isomorph sind zu dem Körper ℤ_{p} und somit auch zueinander isomorph sind. Wir führen den weiteren Beweis mit Satz 1.8 durch: Sei φ : P ⟶ P′ ein Körperisomorphismus (dieser existiert!) und Φ : P [T] ⟶ P [T]′ der zugehörige Isomorphismus der Polynomringe. Nach 2) ist K ⊇ P Zerfällungskörper des Polynoms f := T^{p^{n}} − T ∈ P [T] und K′ ⊇ P′ Zerfällungskörper des Polynoms f′ := T^{p^{n}} − T ∈ P′[T]. Um Satz 1.8 anwenden zu können, müssen wir noch zeigen, dass Φ(f) = f′.

Φ(f) = Φ(T^{p^{n}} − T) = Φ(1_{P} T^{p^{n}} + (−1_{P})T) = φ(1_{P})T^{p^{n}} + φ(−1_{P})T
= φ(1_{P})T^{p^{n}} − φ(1_{P})T = 1_{P′}T^{p^{n}} − 1_{P′}T = T^{p^{n}} − T = f′ ∈ P′[T].

Mit Satz 1.8 folgt nun K ≅ K′. Ein Körper mit p^{n} Elementen ist also bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt!

□

6.11 Bezeichnung Ist p ein Primzahl und n ∈ ℕ \ {0}, so nennt man den bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Körper mit p^{n} Elementen manchmal das Galois-Feld mit p^{n} Elementen und bezeichnet ihn mit GF (p^{n}).

6.12 Satz Ist p eine Primzahl und n ∈ ℕ \ {0}, so gilt für jeden Körper K mit p^{n} Elementen und seinen Primkörper P:

1. Die Körpererweiterung K : P ist eine Galoiserweiterung.

2. Der Frobenius-Homomorphismus von K erzeugt die Automorphismengruppe von K. Diese stimmt mit der Galoisgruppe von K : P überein.

Beweis: zu 1.) Nach Theorem 2.13 ist eine Körpererweiterung K : P genau dann eine Galoiserweiterung, wenn K ⊇ P Zerfällungskörper eines separablen Polynoms aus P [T] ist. Nach Satz 6.10 ist ein Körper K mit p^{n} Elementen Zerfällungskörper des Polynoms T^{p^{n}} −T ∈ P [T] über dem Primkörper P. Dieses ist separabel, da P als endlicher Körper vollkommen ist.

zu 2.) Zunächst zeigen wir, dass die Automorphismengruppe von K mit der Galoisgruppe von K : P übereinstimmt.

” ⊆ ” Sei σ ∈ Gal(K : P) beliebig, so folgt σ ∈ Aut(K) und somit Gal(K : P) ⊆ Aut(K).

” ⊇ ” Sei σ ∈ Aut(K) beliebig. Dann folgt F ix(σ) ist ein Unterkörper von K und es gilt σ(a) = a für alle a ∈ F ix(σ). Da der Primkörper P (K) der kleinste Unterkörper von K und somit auch ein Unterkörper von F ix(σ) ist, folgt σ(a) = a für alle a ∈ P. σ ist also ein P-Automorphismus von K. Damit ist σ ∈ Gal(K : P) und Gal(K : P) ⊇ Aut(K).

Nun müssen wir zeigen, dass der Frobenius-Homomorphismus σ_{K} von K die Automorphismengruppe von K erzeugt. Nach Bemerkung 6.7 ist σ_{K} ein Automorphismus und daher ein Element der Automorphismengruppe von K. Der Hauptsatz der Galois-Theorie liefert: |Aut(K)| = |Gal(K : P)| = [K : P] = n, da K : P eine Galoiserweiterung ist. Demnach gilt < σ_{K} >= Aut(K) ⟺ | < σ_{K} > | = n.

Beh.: < σ_{K} >= {σ_{K}^{0}, σ_{K}^{1}, …, σ_{K}^{n−1}}. Wir müssen nun zeigen, dass die Potenzen von σ_{K} paarweise verschieden sind. Sei dazu a ein erzeugendes Element der Gruppe K^{∗} (vgl. 6.5). Wegen σ^{i}(a) = a^{p^{i}} für alle i genügt es zu zeigen, dass die Elemente a, a^{p}, …, a^{p^{n−1}} paarweise verschieden sind. Wir nehmen an, dass a^{p^{i}} = a^{p^{j}} mit i, j ∈ {0, 1, …, n − 1}, j < i ist. Dann folgt a^{p^{i}} · a^{−p^{j}} = 1 ⟺ a^{p^{i}−p^{j}} = 1. Da 1 ≤ p^{i} − p^{j} ≤ p^{i} − 1 < p^{n} − 1 führt dies zum Widerspruch, denn a hat als erzeugendes Element von K^{∗} die Ordnung p^{n} − 1. Somit sind die Elemente a, …, a^{p^{n−1}} wie auch die Elemente von < σ_{K} > paarweise verschieden. Dann folgt ord(σ_{K}) = | < σ_{K} > | = n = |Aut(K)| und < σ_{K} >= Aut(K). Der Frobenius-Homomorphismus von K erzeugt also die Automorphismengruppe von K. Die Galoisgruppe von K : P ist zyklisch!

□

6.13 Satz Sei p eine Primzahl und n ∈ ℕ \ {0}. Ist dann K ein Körper mit p^{n} Elementen und σ_{K} sein Frobenius-Homomorphismus, so sind die Fixkörper K^{<σ_{K}^{i}>}, i|n, i ∈ ℕ \ {0} genau die Unterkörper von K. Insbesondere gibt es zu jedem Teiler i von n genau einen Unterkörper mit p^{i} Elementen.

Beweis: Wir führen den Beweis zunächst mit Gruppentheorie. Die Gruppen < σ_{K}^{i} >, i|n, i ∈ ℕ \ {0} sind die einzigen Untergruppen der Automorphismengruppe von K, da Aut(K) =< σ_{K} > nach Satz 6.12 zyklisch ist. Damit ist auch jede ihrer Untergruppen zyklisch und nach [GdA] Satz 3.25 gibt es zu jedem Teiler i von n genau eine Unterguppe mit | < σ_{K}^{i} > | = \frac{n}{i}.

Der Hauptsatz der Galois-Theorie liefert eine bijektive Korrespondenz zwischen den Untergruppen der Galoisgruppe und den Zwischenkörpern einer Galoiserweiterung. Für jede Untergruppe < σ_{K}^{i} > der Automorphismengruppe von K ist demnach K^{<σ_{K}^{i}>} ein Zwischenkörper von K : P und zu jedem Teiler i von n existiert genau ein Unterkörper. Wir müssen noch zeigen, dass die Unterkörper genau p^{i} Elemente haben. K^{<σ_{K}^{i}>} ist ein Zwischenkörper der Körpererweiterung K : P. Nach Bemerkung 6.1 gilt für endliche Körper und ihre Primkörper |K^{<σ_{K}^{i}>}| = (char(K))^{[K^{<σ^{i}_{K} >}:P]}.

Wir suchen also den Grad der Körpererweiterung K^{<σ_{K}^{i}>} : P. Mit dem Gradsatz erhalten wir

[K^{<σ_{K}^{i}>} : P] = \frac{[K : P]}{[K : K^{<σ_{K}^{i}>}]} = \frac{n}{| < σ_{K}^{i} > |} = \frac{n}{\frac{n}{i}} = i.

Damit folgt |K^{<σ_{K}^{i}>}| = (char(K))^{[K^{<σ^{i}_{K} >}:P]} = p^{i}.

□

7. Irreduzible Polynome über endlichen Körpern  Olga Anhalt

7 Irreduzible Polynome über endlichen Körpern

In diesem Vortrag wird die Anzahl der irreduziblen normierten Polynome eines bestimmten Grades über einem endlichen Körper bestimmt. Damit kann gezeigt werden, dass es irreduzible Polynome beliebigen Grades über einem endlichen Körper gibt. Dies hat zur Folge, dass zu einer beliebigen Primzahlpotenz p^{n} ein Körper mit p^{n} Elementen konstruiert werden kann.

7.1 Satz Ist K ein endlicher Körper mit q Elementen und ist f ein irreduzibles Polynom vom Grade n über K, so ist f genau dann ein Teiler von T^{q^{s}} − T, wenn n ein Teiler von s ist.

Beweis: \underline{”⟸“} Es wird durch Induktion nach i gezeigt, dass f ein Teiler von T^{q^{ni}} − T für alle i ∈ ℕ ist: (IA) \underline{i = 1} L := K [T] /(f) ist ein Körper mit q^{n} Elementen. Es ist f([T]_{(f)}) = [f]_{(f)} = 0, so dass [T]_{(f)} ∈ L eine Nullstelle von f ist. Weil nach 6.4(3) alle Elemente von L Nullstellen des Polynoms T^{q^{n}} −T sind, haben f und T^{q^{n}} −T eine gemeinsame Nullstelle in L. Nach [1] Satz 3.19 existiert h ∈ K [T] mit h := ggT (f, T^{q^{n}} − T). Außerdem gibt es Polynome w, v ∈ K [T] mit h = w · f + v · (T^{q^{n}} − T). Dann gilt

h([T]_{(f)}) = w([T]_{(f)}) · f([T]_{(f)}) + v([T]_{(f)}) · ([T]_{(f)}^{q^{n}} − [T]_{(f)}) = 0,

d.h. h ist keine Einheit in K [T]. Da h|f gilt und f irreduzibel ist, folgt daraus h ∼ f. Somit ist f ein Teiler von T^{q^{n}} − T. (IV) Für eine beliebige, aber feste natürliche Zahl i sei die Behauptung richtig. (IB) f ist ein Teiler von T^{q^{n(i+1)}} − T. (IS) \underline{i → i + 1}

T^{q^{n(i+1)}} − T = T^{q^{ni}·q^{n}} − T = T^{q^{ni}·q^{n}} − T^{q^{n}} + T^{q^{n}} − T = (T^{q^{ni}} − T)^{q^{n}} + T^{q^{n}} − T

Dabei beachte man dass q Potenz der Charakteristik von K ist, so dass T^{q^{ni}·q^{n}} − T^{q^{n}} = (T^{q^{ni}} −T)^{q^{n}} ist. Nach (IV) und (IA) teilt f die Polynome T^{q^{ni}} −T und T^{q^{n}} −T. Folglich ist f auch ein Teiler von T^{q^{n(i+1)}} − T. Ist also n ein Teiler von s, so ist f ein Teiler von T^{q^{s}} − T.

\underline{”⟹“} Es sei umgekehrt f ein Teiler von T^{q^{s}} − T. Ferner sei s = un + r mit 0 ≤ r < n. \underline{Z.z.:} r = 0, d.h. n|s. Aus

T^{q^{s}} − T = T^{q^{un+r}} − T = T^{q^{un}·q^{r}} − T^{q^{r}} + T^{q^{r}} − T = (T^{q^{un}} − T)^{q^{r}} + T^{q^{r}} − T

folgt dann, dass f auch ein Teiler von T^{q^{r}} − T ist.

Sei g = ∑_{i=0}^{m} g_{i}T^{i} ein beliebiges Polynom über dem Körper K. Dann gilt

g^{q^{r}} = (g_{0} + ∑_{i=1}^{m} g_{i}T^{i})^{q^{r}} = g_{0}^{q^{r}} + (∑_{i=1}^{m} g_{i}T^{i})^{q^{r}} = g_{0} + (g_{1}T + ∑_{i=2}^{m} g_{i}T^{i})^{q^{r}}

= g_{0} + (g_{1}T)^{q^{r}} + (∑_{i=2}^{m} g_{i}T^{i})^{q^{r}} = … = g_{0} + g_{1}T^{q^{r}} + g_{2}T^{2q^{r}} + … + g_{m}T^{mq^{r}}

= g_{0} + g_{1}T^{q^{r}} + g_{2} (T^{q^{r}})^{2} + … + g_{m} (T^{q^{r}})^{m} = g (T^{q^{r}}) ,

man beachte dabei, dass q eine Potenz der Charakteristik von K und wegen Lagrange g_{i}^{q^{r}} = g_{i} für g_{i} ∈ K ∀i ∈ {0, 1, …, m} ist. Also gilt g^{q^{r}} = g(T^{q^{r}}) für alle g ∈ K [T].

Da f das Polynom T^{q^{r}} − T teilt, ist [T^{q^{r}} − T ]_{(f)} = [0]_{(f)}, d.h. [T^{q^{r}}]_{(f)} = [T]_{(f)}.

Daher ist [g]_{(f)}^{q^{r}} = [g^{q^{r}}]_{(f)} = [g(T^{q^{r}})]_{(f)} = g([T^{q^{r}}]_{(f)}) = g([T]_{(f)}) = [g]_{(f)} für alle

g ∈ K [T], d.h. [g]_{(f)}^{q^{r}} − [g]_{(f)} = [0]_{(f)}. Somit sind alle Elemente aus L Nullstellen von T^{q^{r}} − T. Wegen q^{r} < q^{n} ist daher T^{q^{r}} − T das Nullpolynom, so dass q^{r} = 1 und damit r = 0 ist. Folglich ist n ein Teiler von s.

□

7.2 Satz Ist K ein endlicher Körper mit q Elementen und ist f ∈ K [T] irreduzibel, so ist f^{2} kein Teiler von T^{q^{s}} − T für alle s ∈ ℕ.

Beweis: Angenommen für s ∈ ℕ gilt f^{2} | T^{q^{s}} − T. Dann gibt es g ∈ K [T] mit T^{q^{s}} − T = f^{2}g. In K gilt q^{s} · 1_{K} = 0_{K}, da q Potenz der Charakteristik von K ist. Ist D die formale Differentiation in K [T] wie in 2.7, dann ist also D(f^{2}g) = f^{2}Dg + 2gfDf = f(fDg + 2gDf) = q^{s}T^{q^{s}−1} − 1 = −1, so dass f eine Einheit ist im Widerspruch zur Irreduzibilität von f.

□

7.3 Satz Bezeichnet N_{n,q} die Anzahl der irreduziblen normierten Polynome vom Grade n über einem Körper K mit q Elementen, so ist q^{n} = ∑_{d|n} dN_{d,q}.

Vorbemerkung: N_{n,q} ist eine endliche Zahl.

Beweis: Sei f_{d} das Produkt über alle irreduziblen normierten Polynome vom Grade d über K und f = ∏_{d|n} f_{d}. Da jedes dieser Polynome irreduzibel und normiert ist, so sind

sie paarweise teilerfremd. Nach 7.1 teilt jedes dieser Polynome das Polynom T^{q^{n}} − T. Folglich wird T^{q^{n}} − T auch vom Polynom f geteilt. Dann gibt es ein Polynom h ∈ K [T] mit T^{q^{n}} − T = fh.

\underline{Annahme:} h ist ein nicht-konstantes Polynom. Nach [1] Satz 3.27 läßt sich h als Produkt von irreduziblen Polynomen darstellen. Sei h_{1} ein irreduzibler Faktor von h. Nach Satz 7.1 ist der Grad von h_{1} ein Teiler von n. Damit ist h_{1} ein Teiler von f. Folglich teilt h_{1}^{2} das Polynom T^{q^{n}} − T. Dies ist ein Widerspruch zu 7.2. Also ist h konstant. Da f und T^{q^{n}} −T normiert sind, ist h = 1, d.h. f = T^{q^{n}} −T. Daraus

folgt: q^{n} = grad (T^{q^{n}} − T ) = grad (f) = grad (∏_{d|n} f_{d}) = ∑_{d|n} grad (f_{d}) = ∑_{d|n} dN_{d,q}.

□

Die folgenden Ergebnisse brauchen wir um die Anzahl der irreduziblen Polynome zu bestimmen.

7.4 Lemma Es sei R die Menge aller Abbildungen von ℕ in ℝ. Man definiert auf R eine Multiplikation ∗ durch

(f ∗ g)(n) = ∑_{xy=n} f(x)g(y) = ∑_{x|n} f(x)g (\frac{n}{x}) ∀f, g ∈ R, ∀n ∈ ℕ.

Versieht man R noch mit der punktweise definierten Addition, so wird R zu einem Ring. Das Einselement ist die durch ε(1) = 1 und ε(n) = 0 für n > 1 definierte Abbildung ε.

Beweis: Die Addition auf R ist definiert durch (f + g)(n) = f(n) + g(n) ∀f, g ∈ R.

Zuerst zeigen wir, dass (R, +) eine abelsche Gruppe ist.

0) Abgeschlossenheit Seien f, g ∈ R beliebig. Für alle n ∈ ℕ gilt (f + g)(n) = \underbrace{f(n) + g(n)}_{∈ℝ}. Damit ist f + g eine Abbildung von ℕ in ℝ, d.h. f + g ∈ R.

1) Assoziatives Gesetz Seien f, g, h ∈ R beliebig. Es gilt ((f + g) + h)(n) = (f + g)(n) + h(n) = (f(n) + g(n)) + h(n) = f(n) + (g(n) + h(n))

= f(n) + (g + h)(n) = (f + (g + h))(n) ∀n ∈ ℕ.

Also ist (f + g) + h = f + (g + h).

2) Kommutatives Gesetz Seien f, g ∈ R beliebig. Es gilt (f + g)(n) = f(n) + g(n) = g(n) + f(n) = (g + f)(n) ∀n ∈ ℕ. Damit ist f + g = g + f.

3) Existenz eines Nullelementes Die Nullabbildung o ∈ R ist definiert durch o(n) = 0 für alle n ∈ ℕ. Sei jetzt f ∈ R beliebig. Es ist (f + o)(n) = f(n) + o(n) = f(n) ∀n ∈ ℕ. Also gilt f + o = f, d.h. o ∈ R ist das Nullelement in R.

4) Existenz von negativen Elementen Sei f ∈ R beliebig. Die Abbildung −f ∈ R ist definiert durch (−f)(n) = −f(n) ∀n ∈ ℕ. Dann gilt (f +(−f))(n) = f(n)+(−f)(n) = f(n) + (−f(n)) = 0 = o(n) ∀n ∈ ℕ. Also ist f + (−f) = o, d.h. −f ist das Negative zu f.

Nun zeigen wir, dass (R, ∗) eine kommutative Halbgruppe mit einem neutralen Element ist.

0) Abgeschlossenheit Seien f, g ∈ R beliebig. Für alle n ∈ ℕ gilt (f ∗ g)(n) = \underbrace{∑_{xy=n} f(x)g(y)}_{∈ℝ}. Damit ist f ∗ g eine Abbildung von ℕ in ℝ, d.h. f ∗ g ∈ R.

1) Assoziatives Gesetz Seien f, g, h ∈ R beliebig. Es gilt

((f∗g)∗h)(n) = ∑_{xy=n}(f∗g)(x)h(y) = ∑_{xy=n} ( ∑_{mk=x} f(m)g(k)) h(y) = ∑_{mky=n} f(m)g(k)h(y)

= ∑_{ms=n} ( ∑_{ky=s} f(m)g(k)h(y)) = ∑_{ms=n} (f(m) ∑_{ky=s} g(k)h(y))

= ∑_{ms=n} f(m)(g ∗ h)(s) = (f ∗ (g ∗ h))(n) ∀n ∈ ℕ.

Damit ist (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).

2) Kommutatives Gesetz Seien f, g ∈ R beliebig. Für alle n ∈ ℕ gilt (f ∗ g)(n) =

∑_{xy=n} f(x)g(y) = ∑_{yx=n} g(y)f(x) = (g ∗ f)(n). Also ist f ∗ g = g ∗ f.

3) Existenz eines Einselementes Sei f ∈ R beliebig. Es gilt ∑_{xy=n} f(x)ε(y) = f(n)ε(1) =

f(n) ∀n ∈ ℕ. Also ist f ∗ ε = f, d.h. ε ist Einselement in R.

Es bleibt noch zu zeigen, dass in R die distributiven Gesetze gelten. Seien f, g, h ∈ R beliebig. Für alle n ∈ ℕ gilt

(f ∗ (g + h))(n) = ∑_{xy=n} f(x)(g + h)(y) = ∑_{xy=n} f(x)(g(y) + h(y))

= ∑_{xy=n}(f(x)g(y) + f(x)h(y)) = ∑_{xy=n} f(x)g(y) + ∑_{xy=n} f(x)h(y) = (f ∗ g)(n) + (f ∗ h)(n).

Somit ist f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h). Ferner gilt auch (g + h) ∗ f = f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h) = (g ∗ f) + (h ∗ f), da R kommutativ bzgl. ∗ ist.

□

7.5 Bemerkung Die Abbildung j ∈ R sei definiert durch j(n) = 1 ∀n ∈ ℕ. Dann gilt

(j ∗ f)(n) = ∑_{d|n} f(d) ∀f ∈ R.

Beweis: Sei f ∈ R beliebig. Dann gilt

(j ∗ f)(n) = ∑_{ds=n} j(s)f(d) = ∑_{d|n} f(d).

□

7.6 Definition Eine natürliche Zahl n heißt quadratfrei, falls für alle Primzahlen p gilt, dass p^{2} kein Teiler von n ist.

7.7 Bezeichnung Mit α(n) bezeichnet man die Anzahl der Primteiler von n.

7.8 Definition Die Funktion μ ∈ R sei definiert durch

μ (n) = \{ \begin{matrix}(−1)^{α(n)} , falls n quadratfrei \\ 0 , falls n nicht quadratfrei. \end{matrix}

μ heißt die Möbiusfunktion.

7.9 Satz Es gilt μ ∗ j = ε.

Beweis: Es ist

(μ ∗ j)(1) = ∑_{d|1} μ(d) = μ(1) = (−1)^{α(1)} = (−1)^{0} = 1 = ε(1).

Sind m und n teilerfremde natürliche Zahlen, so folgt aus dem Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung, dass

{de | d, e ∈ ℕ, d|m, e|n} = {f | f ∈ ℕ, f|mn}

ist. Da m und n teilerfremd sind, so ist ggT (d, e) = 1. Dann gilt

μ(de) = (−1)^{α(de)} = (−1)^{α(d)+α(e)} = (−1)^{α(d)}(−1)^{α(e)} = μ(d) · μ(e).

Somit ist

(μ ∗ j)(mn) = ∑_{f|mn} μ(f) = ∑_{de|mn} μ(de) = ∑_{d|m} ∑_{e|n} μ(d) · μ(e) = (∑_{d|m} μ(d)) · (∑_{e|n} μ(e))

= [(μ ∗ j)(m)] [(μ ∗ j)(n)] .

Es sei jetzt 1 < n ∈ ℕ und p ein Primteiler von n. Ferner sei n = p^{t}m mit ggT (p, m) = 1. Dann ist also (μ ∗ j)(n) = [(μ ∗ j)(p^{t})] [(μ ∗ j)(m)]. Wegen (μ ∗ j)(p^{t}) = ∑_{k|p^{t}} μ(k) = μ(1) + μ(p) = 1 − 1 = 0 ist daher (μ ∗ j)(n) = 0 = ε(n). Folglich

ist (μ ∗ j)(n) = ε(n) ∀n ∈ ℕ, d.h. μ ∗ j = ε.

□

Der folgende Satz wurde für den Fall, dass q eine Primzahl ist, schon von R. Dedekind im Jahr 1857 bewiesen.

7.10 Satz Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. Ferner sei n eine natürliche Zahl und p_{1}, p_{2}, ..., p_{m} seien alle Primteiler von n. Ist I ⊆ {1, 2, ..., m} eine beliebige Teilmenge, so setzt man n(I) = n ∏_{i∈I} p_{i}^{−1}. Ist dann wieder N_{n,q} die Anzahl der irreduziblen

normierten Polynome vom Grade n über K, so ist

N_{n,q} = n^{−1} ∑_{I}(−1)^{|I|}q^{n(I)},

wobei die Summe über alle Teilmengen I ⊆ {1, 2, ..., m} zu erstrecken ist.

Beweis: Definiere F, G ∈ R durch F (n) = q^{n} und G(n) = n · N_{n,q} für alle n ∈ ℕ. Es

gilt F = j ∗ G, denn es ist (j ∗ G)(n) =^{7.5} ∑_{k|n} G(k) = ∑_{k|n} k · N_{k,q} =^{7.3} q^{n} = F (n) ∀n ∈ ℕ.

Daraus folgt G = ε ∗ G =^{7.9} (μ ∗ j) ∗ G = μ ∗ (j ∗ G) = μ ∗ F. Dann ist

nN_{n,q} = G(n) = (μ ∗ F)(n) = ∑_{de=n} μ(d)F (e) = ∑_{d|n} μ(d)F (\frac{n}{d}) .

Da für jeden nicht quadratfreien Teiler d von n μ (d) = 0 gilt, müssen wir also nur über die quadratfreie Teiler von n summieren. Ist d ein quadratfreier Teiler von n, so ist d = p_{1}^{t_{1}}·. . .·p_{m}^{t_{m}} mit t_{i} ∈ {0, 1} ∀i ∈ {1, …, m} . Sei die Menge I = {i ∈ {1, …, m} | t_{i} = 1} ⊆ {1, …, m}. Dann ist α (d) = |I| und \frac{n}{d} = n (I). Damit gilt

nN_{n,q} = ∑_{d quadratfrei^{d|n}} μ(d)F (\frac{n}{d}) = ∑_{d quadratfrei^{d|n}}(−1)^{α(d)}q^{\frac{n}{d}} = ∑_{I⊆\{1,2,...,m\}}(−1)^{|I|}q^{n(I)}.

Daraus folgt die Behauptung.

□

7.11 Beispiele Wir bestimmen die Anzahl der irreduziblen Polynome vom Grade 9 und 12 über dem Körper ℤ_{3}.

N_{9,3} = \frac{1}{9}((−1)^{0} · 3^{9} + (−1)^{1} · 3^{3}) = 2184.

Dann ist die Anzahl aller irreduziblen Polynome vom Grade 9 über ℤ_{3} gleich 2 · 2184 = 4368. Insgesamt gibt es 2·3^{9} = 39366 Polynome vom Grade 9 über ℤ_{3}. Also ist ungefähr ein Neuntel aller Polynome vom Grade 9 irreduzibel über ℤ_{3}.

N_{12,3} = \frac{1}{12}((−1)^{0} · 3^{12} + (−1)^{1} · 3^{6} + (−1)^{1} · 3^{4} + (−1)^{2} · 3^{2}) = 44220.

Dann ist die Anzahl aller irreduziblen Polynome vom Grade 12 über ℤ_{3} gleich 2·44220 = 88440. Insgesamt gibt es 2 · 3^{12} = 1062882 Polynome vom Grade 12 über ℤ_{3}. Also ist ungefähr ein Zwölftel aller Polynome vom Grade 12 irreduzibel über ℤ_{3}.

7.12 Korollar Ist K ein Körper mit q Elementen und ist n eine beliebige natürliche Zahl, so gibt es irreduzible Polynome vom Grade n über K.

Beweis: Gibt es kein solches Polynom, so ist N_{n,q} = 0, d.h., es ist ∑_{I⊆M}(−1)^{|I|}q^{n(I)} =

0, wobei M = {1, 2, ..., α(n)} ist. Dann ist q^{n(M)} ∑_{I⊆M}(−1)^{|I|}q^{n(I)−n(M)} = 0. Es folgt

∑_{I⊆M}(−1)^{|I|}q^{n(I)−n(M)} = 0, da q^{n(M)} ≠ 0 ist. Nun gilt n(I) ≥ n(M), und n(I) = n(M)

genau dann, wenn I = M ist. Dann ist

∑_{I⊂M}(−1)^{|I|}q^{n(I)−n(M)} + (−1)^{|M|}q^{n(M)−n(M)} = 0.

Daraus folgt ∑_{I⊂M}(−1)^{|I|}q^{n(I)−n(M)} = −(−1)^{α(n)}. Für I ⊂ M gilt n(I) > n(M) und

somit n(I) − n(M) ≥ 1. Dann ist

q( ∑_{I⊂M}(−1)^{|I|}q^{n(I)−n(M)−1}) = −(−1)^{α(n)},

d.h., q ist ein Teiler von (−1)^{α(n)} = ±1. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass q eine Primzahlpotenz ist. Also ist N_{n,q} ≠ 0.

□

7.13 Korollar Ist p eine Primzahl, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl n ∈ ℕ einen und bis auf Isomorphie auch nur einen Körper mit p^{n} Elementen.

Beweis: Wir setzen K = ℤ_{p}. Nach 7.12 existiert ein Polynom f ∈ ℤ_{p} [T] vom Grade n, das irreduzibel über ℤ_{p} ist. Dann ist nach [1] Satz 3.37 ℤ_{p} [T] /(f) ein Körper mit p^{n} Elementen und nach 6.10(3) sind je zwei Körper mit p^{n} Elementen isomorph.

□

8. Ein Satz von Wedderburn  Ann–Christin Malik

8 Ein Satz von Wedderburn

Ziel dieser Ausarbeitung soll es sein, den 1905 aufgestellten Satz von Wedderburn zu beweisen, der besagt, dass endliche Schiefkörper kommutativ sind. Diesbezüglich werden zur Motivation einige veranschaulichende Beispiele vorausgeschickt, die bezeugen, dass es sowohl abzählbar unendliche als auch überabzählbar unendliche Schiefkörper gibt, die nicht kommutativ sind.

8.1 Beispiel Sei K ein Zwischenkörper von ℚ und ℝ. Dann ist

M_{K} := \{( \begin{matrix}a & b \\ −\overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) |a, b ∈ K [i]\} ⊆ M_{2}(ℂ)

ein nicht kommutativer Schiefkörper. Für K = ℚ ist M_{ℚ} abzählbar unendlich. Für K = ℝ ist M_{ℝ} überabzählbar unendlich.

Beweis: Im Folgenden ist zu zeigen: M_{K} ist ein nicht kommutativer Schiefkörper. Es folgt leicht, daß M_{K} eine Untergruppe von (M_{2}(ℂ), +) ist. Offensichtlich ist M_{K} abgeschlossen bzgl. der Matrixmultiplikation, denn es gilt:

( \begin{matrix}a & b \\ −\overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}c & d \\ −\overline{d} & \overline{c} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ac − b\overline{d} & ad + b\overline{c} \\ −\overline{b}c − \overline{a}\overline{d} & −\overline{b}d + \overline{a}\overline{c} \end{matrix} ) ,

wobei \overline{(ac − b\overline{d})} = \overline{ac} − \overline{b\overline{d}} = −\overline{b}d + \overline{a}\overline{c} und −\overline{(ad + b\overline{c})} = −\overline{a}\overline{d} − \overline{b}c.

Nun ist zu zeigen, dass M_{K} \ {0} bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist. Für A ∈ M_{K} gilt

det(A) = |a|^{2} + |b|^{2} ∈ ℝ und A ≠ 0 ⇔ det(A) ≠ 0.

Also: A, B ∈ M_{K} \ {0} ⟹ det(AB) = det(A) det(B) ≠ 0 und damit AB ∈ M_{K} \ {0}. Wegen M_{K} ⊆ M_{2}(ℂ) gilt das Assoziativgesetz der Multiplikation.

Ferner ist ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ M_{K} \ \{0\} Einselement bezüglich der Multiplikation.

Sei A ∈ M_{K} \ {0}. Dann gilt

A^{−1} = \frac{1}{det A} ( \begin{matrix}\overline{a} & −b \\ \overline{b} & a \end{matrix} ) ∈ M_{K} \ \{0\}.

Desweiteren gelten die distributiven Gesetze.

Abschließend wird gezeigt, daß die Matrixmultiplikation auf M_{K} nicht kommutativ ist:

( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} )

( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix} ) .

□

8.2 Definition und Satz Der Schiefkörper

M_{ℝ} = \{( \begin{matrix}a & b \\ −\overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) |a, b ∈ ℂ\}

heißt \underline{Quaternionenschiefkörper} und wird mit ℍ bezeichnet. Die Elemente von ℍ heißen \underline{Quaternionen}. Für die Elemente

e := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , i := ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) , j := ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , k := ( \begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} ) ∈ ℍ gilt:

a) {e, i, j, k} ist eine Basis von ℍ über ℝ.

b) Es gilt

i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = −e
ij = −ji = k , ik = −ki = −j , jk = −kj = i.

c) Q := {+e, −e, +i, −i, +j, −j, +k, −k} ist eine nicht abelsche Untergruppe von (ℍ^{⋆}, ·). (Q heißt \underline{Quaternionengruppe}).

d) Bezeichnet Im ℍ den von i, j, k erzeugten Unterraum von ℍ, so gilt

x^{2} ∈ ℝe für alle x ∈ Im ℍ.

e) Für jede Quaternion x = ae + bi + cj + dk ∈ ℍ gilt:

x^{2} = 2ax − (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})e.

Beweis:

a) Offensichtlich sind e, i, j, k linear unabhängig. Es bleibt zu zeigen e, i, j, k bilden ein Erzeugendensystem. Diesbezüglich muss gelten:

( \begin{matrix}a & b \\ −\overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) = α ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) + β ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) + γ ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) + δ ( \begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}α + βi & −γ − δi \\ γ − δi & α − βi \end{matrix} ) .

Da für a = α + βi gilt \overline{a} = α − βi und für b = −(γ − δi) gilt −\overline{b} = γ − δi, gilt obrige Aussage nach Definition von \overline{a} und \overline{b}.

b) Alle Aussagen sind leicht nachzurechnen.

c) Nach (8.2 b) ist klar, dass die Multiplikation abgeschlossen und offensichtlich nicht

kommutativ ist. Des weiteren ist e_{ℍ} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ Q und

e^{−1} = e , −e^{−1} = −e , i^{−1} = −i , −i^{−1} = i , j^{−1} = −j , −j^{−1} = j , k^{−1} = −k

sowie − k^{−1} = k.

Damit ist Q abgeschlossen bezüglich Inversenbildung und erfüllt die Eigenschaften einer Untergruppe. d) Sei x ∈ Im ℍ, dann gilt x = bi + cj + dk mit b, c, d ∈ ℝ. Dies liefert

x^{2} = (bi + cj + dk)^{2}
= b^{2} \underbrace{i^{2}}_{−e} +c^{2} \underbrace{j^{2}}_{−e} +d^{2} \underbrace{k^{2}}_{−e} +bcij + bdik + \underbrace{cbji}_{−bcij} +cdjk + \underbrace{dbki}_{−bdik} + \underbrace{dckj}_{−cdjk}
= e(−b^{2} − c^{2} − d^{2})

Da b, c, d ∈ ℝ ist auch (−b^{2} − c^{2} − d^{2}) ∈ ℝ.

e) Sei x = ae + bi + cj + dk mit a, b, c, d ∈ ℝ. Dann gilt

x^{2} = (ae)^{2} + (bi)^{2} + (cj)^{2} + (dk)^{2} + abi + acj + adk + bai + caj + dak + bcij
+bdik + cbji + cdjk + dbki + dckj
= a^{2}e − b^{2}e − c^{2}e − d^{2}e + 2abi + 2acj + 2adk
= 2abi + 2acj + 2adk + 2a^{2}e − a^{2}e − b^{2}e − c^{2}e − d^{2}e
= 2a(ae + bi + cj + dk) − e(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})
= 2ax − e(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})
□

8.3 Exkurs (Konsequenzen aus der Nichtkommutativität von ℍ) Wie in (8.2) gezeigt, handelt es sich bei ℍ um einen Schiefkörper. Offensichtlich ist ℍ nicht kommutativ. Dies hat ungewohnte Konsequenzen. So wurden beispielsweise Polynome in Bezug auf unseren bisherigen Wissenstand lediglich auf kommutativen Hintergründen betrachtet. An dieser Stelle stellt sich die Frage: Können Polynome über Schiefkörpern betrachtet werden, und welche Folgen kann das Fehlen der Nichtkommutativität haben. Die folgenden Punkte sollen diesbezüglich einen kleinen Einblick geben.

a) Polynome können nicht in gewohnter Art und Weise faktorisiert werden. Seien x, y ∈ ℍ. Dann gilt (T − x)(T − y) = T^{2} − xT − T y + xy ≠ T^{2} − (x + y)T + xy.

b) Polynome können mehr Nullstellen haben, als ihr Grad ist. T^{2} + e = 0 wird offensichtlich erfüllt von i, −i, j, −j, k, −k. Das Polynom f := T^{2} +e hat folglich mindestens 6 Nullstellen. Nach (8.2 d) hat f sogar unendlich viele Nullstellen, denn für jedes u ∈ Im ℍ mit Länge 1 gilt u^{2} = − \underbrace{(b^{2} + c^{2} + d^{2})}_{=1} = e = −e. Damit erfüllt jedes u obige Glei-

chung und es ist gezeigt, das Polynom f hat unendlich viele Nullstellen. Nun ist nach bisheriger Kenntnis ein Polynom über einem kommutativen Körper mit unendlich vielen Nullstellen das Nullpolynom. f jedoch ist offensichtlich nicht das Nullpolynom. Ein erster Widerspruch wird deutlich.

c) Es gibt kubische Polynome, die von allen Quaternionen anulliert werden. Auch dieses Beispiel spiegelt das in b) angesprochene Problem. Sei g := T^{2}iT i + iT^{2}iT − iT iT^{2} − T iT^{2}i. Nach Voraussetzung wird das Polynom über einem nichtkommutativen Schiefkörper betrachtet. In Folge dessen handelt es sich offensichtlich nicht um das Nullpolynom. Einsetzen einer beliebigen Quaternion x, die nach (8.2 e) der Gleichung x^{2} = αx + βe genügt, annulliert g jedoch. Gleichzeitig verdeutlicht sich an diesem Beispiel ein Problem in Bezug auf die Begriffbestimmung des Grades von Polynomen. Im ursprünglichen Sinn wurde der Grad eines Polynoms verstanden als die höchste Potenz desselben. Da die hier gewählte Multiplikation nicht kommutativ ist, müsste man von einem Polynom zweiten Gerades sprechen, obwohl man es eher als ein Polynom dritten Gerades auffassen würde. d) Determinaten können nicht sinnvoll in herkömmlicher Weise definiert werden. Betrachtet man zwei Möglichkeiten der Definition der Determinante:

det ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) = ad − bc oder det ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) = ad − cb.

Im Folgenden wird jeweils ein Beispiel angeführt. Im ersten Fall erhält man

det ( \begin{matrix}i & j \\ i & j \end{matrix} ) = ij − ji = 2k.

Der zweite Fall liefert

det ( \begin{matrix}i & i \\ j & j \end{matrix} ) = ij − ji = 2k.

Nach Definition der Determinante ist diese jedoch alternierend, das heißt: Hat eine Matrix gleiche Zeilen bzw. Spalten, so ist ihre Determinante Null. In beiden Fällen jedoch ist 2k offensichtlich von Null verschieden.

8.4 Definition Sei G eine Gruppe, x, y ∈ G. x heißt \underline{konjugiert} zu y (in Zeichen x ∼ y) wenn es ein g ∈ G gibt mit y = g^{−1}xg.

K(x) := {g^{−1}xg|g ∈ G}

bezeichnet die Menge der zu x konjugierten Elemente. K(x) heißt \underline{Konjugationsklasse von x}.

8.5 Bemerkung Die Konjugation ist eine Äquivalenzrelation auf der Gruppe G.

Beweis: Es muss gezeigt werden, dass die Konjugation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Reflexiblität: a ∼ a, da a = e^{−1}ae. Symmetrisch: a ∼ b ⇔ a = g^{−1}bg ⇔ b = gag^{−1}. Da (g^{−1})^{−1} = g folgt b ∼ a. Transitiv: Sei a ∼ b und b ∼ c. Dann gilt a = g^{−1}bg und b = g̃^{−1}cg̃. Einsetzen liefert a = g^{−1}g̃^{−1}cg̃g = (g̃g)^{−1}c(g̃g). Daraus folgt a ∼ c.

□

8.6 Definition Sei G eine Gruppe, g ∈ G. Dann heißt

C_{G}(g) := {x|x ∈ G, xg = gx}

der \underline{Zentralisator von g in G}.

8.7 Bemerkung C_{G}(g) ist eine Untergruppe von G.

Beweis: Klar ist, dass e ∈ C_{G}(g), da eg = ge für alle g ∈ G. Des Weiteren muss gelten: Für y, z ∈ C_{G}(g) folgt yz ∈ C_{G}(g). Es gilt (yz)g = y(zg) = (yg)z = g(yz) ⇒ yz ∈ C_{G}(g). Außerdem muss gelten, aus x ∈ C_{G}(g) folgt x^{−1} ∈ C_{G}(g). Aus xg = gx folgt g = x^{−1}gx ⇔ gx^{−1} = x^{−1}g ⇔ x^{−1}g = gx^{−1}. Daraus folgt x^{−1} ∈ C_{G}(g). Damit ist gezeigt, C_{G}(g) ist Untergruppe von G.

□

8.8 Definition Sei G eine Gruppe. Dann heißt

Z(G) := ⋂_{g∈G} C_{G}(g)

das \underline{Zentrum von G}.

8.9 Lemma Für x ∈ G gilt

a)

Z(G) = {x|x ∈ G, gx = xg für alle g ∈ G}.

b)

|K(x)| = 1 ⇔ x ∈ Z(G).

Beweis:

a) klar

b) Sei x ∈ Z(G). Dann gilt xg = gx für alle g ∈ G ⇔ g^{−1}xg = x für alle g ∈ G ⇔ {x} = {g^{−1}xg | g ∈ G} ⇔ {x} = K(x) ⇔ |K(x)| = 1.

□

8.10 Definition Sei G eine Gruppe, H eine Untergruppe von G und G/H die Menge der Rechtsnebenklassen von G bzgl. H. Dann heißt

(G : H) := |G/H|

der \underline{Index von H in G}.

8.11 Lemma Sei G eine endliche Gruppe, S sei eine Konjugationsklasse. Für g ∈ S gilt

|S| = (G : C_{G}(g)),

d.h. es gibt genausoviele zu g konjugierte Elemente wie Rechtsnebenklassen von G bzgl. C_{G}(g).

Beweis: Um die Elementzahl von S zu bestimmen, muss überlegt werden, wann zwei zueinander konjugierte Elemente gleich sind. Seien x, y ∈ G, dann gilt

x^{−1}gx = y^{−1}gy ⇔ yx^{−1}g = gyx^{−1} ⇔ yx^{−1} ∈ C_{G}(g) ⇔ y ∈ C_{G}(g)x.

Da Nebenklassen entweder gleich oder disjunkt sind, ist C_{G}(g)x = C_{G}(g)y. Demnach sind zwei zueinander konjugierte Elemente genau dann gleich, wenn ihre Rechtsnebenklassen gleich sind. Es gibt also genau so viele zu g konjugierte Elemente, wie Rechtsnebenklassen von G bezüglich C_{G}(g), d.h. |S| = (G : C_{G}(g)).

□

8.12 Satz (Die Klassengleichung) Sei G eine endliche Gruppe. S_{1}, ..., S_{n} seien sämtliche Konjugationsklassen mit mehr als einem Element. Für g_{i} ∈ S_{i}, i = 1, ..., n gilt:

|G| = |Z(G)| + ∑_{i=1}^{n}(G : C_{G}(g_{i})).

Beweis: Sei V := {g_{1}, g_{2}, ..., g_{d}} ein vollständiges Vertretersystem bezüglich Konjugation in G. Wähle n ∈ ℕ so, dass {g_{1}, ..., g_{n}} ∉ Z(G) und {g_{n+1}, ..., g_{d}} ∈ Z(G). Da die Konjugation nach (8.5) eine Äquivalenzrelation ist, ist G die disjunkte Vereinigung ihrer Äquivalenzklassen. Es gilt

G = ⋃_{i=1}^{d} K(g_{i}).

Nach (8.9) besteht Z(G) aus denjenigen Elementen, deren Konjugationsklassen einelementig sind, woraus folgt

G = Z(G) ∪ (⋃_{i=1}^{n} K(g_{i})) = Z(G) ∪ (⋃_{i=1}^{n} S_{i}).

Da es sich in beiden Fällen um disjunkte Vereinigungen handelt, ergibt die Betrachtung der Elementzahlen

|G| = |Z(G)| + | ⋃_{i=1}^{n} S_{i}| = |Z(G)| + ∑_{i=1}^{n} |S_{i}|.

Nach (8.11) gilt |S| = (G : C_{G}(g)) und es folgt |G| = |Z(G)| + ∑_{i=1}^{n}(G : C_{G}(g_{i})).

□

8.13 Hilfsatz (über Teilbarkeit) Es seien q, m, n ∈ ℕ. Ferner sei q > 1. Genau dann ist q^{m} − 1 ein Teiler von q^{n} − 1, wenn m ein Teiler von n ist.

Beweis: ” ⇐ ” Im Folgenden wird gezeigt, aus m teilt n folgt q^{m} − 1 teilt q^{n} − 1. Aus m|n folgt n = ms für s ∈ ℕ. Einsetzen von ms für n liefert

q^{n} − 1 = q^{ms} − 1 = (q^{m} − 1) · \frac{q^{ms} − 1}{q^{m} − 1}.

Durch Anwenden der geometrischen Summenformel erhält man

q^{n} − 1 = (q^{m} − 1) ∑_{i=0}^{s−1} q^{mi},

woraus q^{m} − 1|q^{n} − 1 folgt.

” ⇒ ” Nun gelte q^{m} − 1|q^{n} − 1. Im Folgenden ist zu zeigen m|n. Der Beweis wird durch Widerspruch geführt. Dazu nehmen wir an, dass m |̸ n gilt. Dann folgt n = ms + r mit 0 ≤ r < m. Ziel wird sein, zu zeigen, dass gilt r = 0, woraus n = ms und m|n folgt. Weise zuerst folgende Behauptung nach:

q^{m} − 1 | q^{n} − 1 − q^{r}(q^{ms} − 1).

Nach Vorraussetzung gilt q^{m} − 1|q^{n} − 1. Falls (q^{m} − 1) auch (q^{ms} − 1) teilt, so teilt (q^{m} − 1) den gesamten Ausdruck nach Teilbarkeitsregeln. Es genügt zu zeigen q^{m} − 1|q^{ms} − 1. Es gilt q^{ms} − 1 = q^{m^{s}} − 1. Ein Anwenden der Binomischen Formel a^{n} − b^{n} = (a − b) · (a^{n−1} + a^{n−2}b + a^{n−3}b^{2} + ⋯ + b^{n−1} liefert

q^{ms} − 1 = (q^{m} − 1) · (q^{s−1} + q^{s−2} + q^{s−3} + ... + q^{−1} + q^{0}) = (q^{m} − 1) ∑_{i=1}^{s} q^{s−i} ∈ ℕ,

woraus q^{m} − 1|q^{ms} − 1 folgt. Damit gilt nach obigen Ausführungen

q^{m} − 1| \underbrace{q^{n} − 1 − q^{r}(q^{ms} − 1)}_{= q^{r}−1} .

Durch Auflösen der Klammern und Vereinfachen erhält man q^{n}−1−q^{r}(q^{ms}−1) = q^{r} −1, und es folgt

q^{m} − 1|q^{r} − 1 ⇒ q^{m} − 1 ≤ q^{r} − 1.

Aus 0 ≤ r < m lässt sich jedoch folgern

q^{m} − 1 > q^{r} − 1.

Dieser Widerspruch liefert r = 0, woraus n = ms folgt, d.h. m|n.

□

8.14 Definition Sei K ein Schiefkörper. Für a ∈ K heißt

C(a) := {x|x ∈ K, xa = ax}

der \underline{Zentralisator von a in K}.

8.15 Bemerkung C(a) ist ein Unterkörper von K.

Beweis: Im Folgenden ist zu zeigen 1_{K} ∈ C(a), C(a) ist abgeschlossen bezüglich Multiplikation, Subtrakion und der Bildung von Inversen. 1_{K} ∈ C(a), da 1_{K}a = a = a1_{K}. Seien x, y ∈ C(a). Dann gilt (x − y)a = xa − ya = ax − ay = a(x − y) ⇒ (x − y) ∈ C(a). Des Weiteren gilt (xy)a = x(ya) = x(ay) = (xa)y = a(xy) ⇒ (xy) ∈ C(a). Sei y ∈ C(a), y ≠ 0, dann folgt ya = ay ⇔ ay^{−1} = y^{−1}a. Damit gilt y^{−1} ∈ C(a).

□

8.16 Definition Sei K ein Schiefkörper. Dann heißt

Z(K) := ⋂_{a∈K} C(a)

das \underline{Zentrum von K}.

8.17 Bemerkung Z(K) ist ein Unterkörper von K.

Beweis: Nach (2.5) des Algebra-Skripts gilt, der Durchschnitt eines beliebigen Systems von Unterkörpern ist wieder ein Unterkörper.

□

8.18 Hilfsatz Ist m ein Teiler von n mit m < n, so gibt es ein g ∈ ℤ[T] mit

(T^{m} − 1) · g = (T^{n} − 1).

Ferner ist Φ_{n} ein Teiler von g ∈ ℤ[T].

Beweis: Nach (5.10.2) gilt

T^{n} − 1 = ∏_{{d|n \atop 0<d}} Φ_{d} = Φ_{n} · ∏_{{d|n \atop 0<d<n}} Φ_{d}.

Sei im Folgenden {d_{1}, ..., d_{r}} die Menge der von n verschiedenen Teiler von n.

T^{n} − 1 = Φ_{n} · Φ_{d_{1}} · Φ_{d_{2}} · ... · Φ_{d_{i−1}} · Φ_{d_{i}} · Φ_{d_{i+1}} · ... · Φ_{d_{r}}.

Da T^{d_{i}} − 1 = Φ_{d_{i}} · ∏_{{f|d_{i} \atop 0<f<d_{i}}} Φ_{f}, gilt

T^{n} − 1 = Φ_{n} · Φ_{d_{1}} · Φ_{d_{2}} · ... · Φ_{d_{i−1}} · \frac{T^{di} − 1}{∏_{{f|d_{i} \atop 0<f<d_{i}}} Φ_{f}} · Φ_{d_{i+1}} · ... · Φ_{d_{r}}.

f|d_{i} und d_{i}|n, woraus folgt f|n. Infolgedessen lässt sich der Nenner des Bruches vollständig wegkürzen und man erhält

T^{n} − 1 = (T^{d_{i}} − 1) \underbrace{ḡ · Φ_{n}}_{:=g},

wobei ḡ das Produkt über die übrig gebliebenen Kreisteilungspolynome ist. Da Kreisteilungspolynome ganzzahlige Koeffizienten haben folgt ḡ ∈ ℤ[T] und daraus g ∈ ℤ[T]. Für d_{i} = m erhält man T^{n} − 1 = (T^{m} − 1)g mit g ∈ ℤ[T]. Des Weiteren gilt Φ_{n}|g, da g = Φ_{n} · ḡ mit ḡ ∈ ℤ[T].

□

8.19 Satz (von Wedderburn, 1905) Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.

Beweis: Der im Folgenden dargestellte Beweis stammt von E. Witt aus dem Jahr 1931 und wird durch Widerspruch geführt.

Annahme: Es gibt einen nichtkommutativen, endlichen Schiefkörper K.

Dann ist Z(K) ein Unterkörper und hat mindestens zwei Elemente. Nach Annahme gilt außerdem: K ist nicht kommutativ, d.h. Z(K) ⊂ K, mit Z(K) ≠ K. Demnach lässt sich folgende Ungleichung aufstellen:

1 < |Z(K)| := q < |K| mit q ≥ 2.

Z(K) ist ein kommutativer Unterkörper von K. Betrachte im Folgenden K als Vektorraum über Z(K). Es gilt

dim_{Z(K)} K = [K : Z(K)] =: n mit n > 1 .

Hieraus folgt K ≅ Z(K)^{n}. Betrachtet man die Elementzahlen, so erhält man

|K| = |Z(K)^{n}| = |Z(K)|^{n} = q^{n}.

Um im weiteren Verlauf (8.11) und (8.12) anwenden zu können, betrachte (K^{∗}, ·), die multiplikative Gruppe von K. Seien S_{1}, ..., S_{t} die Konjugationsklassen von K^{∗} mit mehr als einem Element. Sei a_{i} ∈ S_{i}.

Bestimme im Folgenden die Ordnung des Zentralisators C(a_{i}). Z(K) ist kommutativer Unterkörper von C(a_{i}). C(a_{i}) lässt sich demnach als Vektorraum über Z(K) betrachten. Es gilt

dim_{Z(K)} C(a_{i}) = [C(a_{i}) : Z(K)] =: m_{i} für m_{i} ∈ ℕ.

Demnach gilt C(a_{i}) ≅ Z(K)^{m_{i}}. Betrachtet man die Elementzahlen, so erhält man

|C(a_{i})| = |Z(K)^{m_{i}}| = |Z(K)|^{m_{i}} = q^{m_{i}}.

Für a_{i} ≠ 0 ist offenbar C(a_{i})^{∗} = C_{K^{∗}}(a_{i}). Mit Anwendung obiger Ergebnisse gilt ferner |C(a_{i})^{∗}| = q^{m_{i}} − 1, sowie |K^{∗}| = q^{n} − 1. Nach (8.7) ist C(a_{i})^{∗} Untergruppe von K^{∗} und es folgt mit Anwendung von (8.11)

|S_{i}| = (K^{∗} : C(a_{i})^{∗}) = \frac{|K^{∗}|}{|C(a_{i})^{∗}|} = \frac{q^{n} − 1}{q^{m_{i}} − 1} ∈ ℕ (da |S_{i}| ∈ ℕ).

Folglich ist q^{m_{i}} − 1 ein Teiler von q^{n} − 1, wobei q, m_{i}, n ∈ ℕ mit q ≥ 2 gilt. Mit Anwendung von (8.13) folgt m_{i}|n mit m_{i} ≤ n. Im Folgenden wird gezeigt, dass m_{i} < n für alle i = 1, ..., t gilt. Annahme: Sei m_{i} = n für ein i ∈ {1, ..., t}. Dann folgt

|K^{∗}| = q^{n} − 1 = |C(a_{i})^{∗}| ⇒ C(a_{i})^{∗} = K^{∗}.

Demnach kommutiert jedes Element aus K^{∗} mit a_{i} ∈ S_{i}. Dann kommutiert auch jedes a_{i} ∈ S_{i} mit jedem Element aus K^{∗}, woraus folgt a_{i} ∈ Z(K^{∗}). Mit Anwendung von (8.9) ist |S_{i}| = 1. Dies ist ein Widerspruch zur Wahl der Konjugationsklasse S_{i}. Demnach gilt m_{i}|n mit m_{i} < n. Betrachte die Klassengleichung (8.12). Es gilt:

|K^{∗}| = |Z(K^{∗})| + ∑_{i=1}^{t}(K^{∗} : C(a_{i})^{∗}).

Einsetzen der oben bestimmten Beziehungen liefert

(⋆) q^{n} − 1 = q − 1 + ∑_{i=1}^{t} \frac{q^{n} − 1}{q^{m_{i}} − 1}.

Im Folgenden wird auf Kreisteilungspolynome zurückgegriffen und gezeigt, dass Φ_{n}(q) q^{n} − 1 und die Summe teilt. Anschließend folgt nach Teilbarkeitsregeln Φ_{n}(q)|q − 1.

Zeige Φ_{n}(q)|q^{n} − 1. Nach (5.10.2) gilt

T^{n} − 1 = Φ_{n} · ∏_{{d|n \atop 0<d<n}} Φ_{d}.

Einsetzen von q liefert

q^{n} − 1 = Φ_{n}(q) ∏_{{d|n \atop 0<d<n}} Φ_{d}(q).

Da Kreisteilungspolynome ganzzahlige Koeffizienten haben, gilt q^{n} − 1 ∈ ℕ, Φ_{n}(q) ∈ ℤ und ∏_{{d|n \atop 0<d<n}} Φ_{d}(q) ∈ ℤ, woraus folgt Φ_{n}(q)|q^{n} − 1.

Nach (8.18) gilt des Weiteren für m_{i}|n mit m_{i} < n: Es gibt ein g ∈ ℤ[T] mit (T^{m_{i}} − 1)g = (T^{n} − 1) und g = Φ_{n} · g̃ mit g̃ ∈ ℤ[T].

(T^{m_{i}} − 1) · Φ_{n} · g̃ = (T^{n} − 1).

Einsetzen von q liefert (q^{m_{i}} − 1) · Φ_{n}(q) · g̃(q) = q^{n} − 1, woraus folgt

Φ_{n}(q) · g̃(q) = \frac{q^{n} − 1}{q^{m_{i}} − 1} = |S_{i}| ∈ ℕ.

Da Kreisteilungspolynome ganzzahlige Koeffizienten haben, gilt Φ_{n}(q), g̃(q) ∈ ℤ, woraus

folgt Φ_{n}(q)|\frac{q^{n} − 1}{q^{m_{i}} − 1}, und damit Φ_{n}(q)| ∑_{i=1}^{t} \frac{q^{n}−1}{q^{m_{i}}−1}.

Damit folgt aus (⋆) Φ_{n}(q)|q − 1 und somit

(⋆⋆) |Φ_{n}(q)| ≤ q − 1.

Dies wird zum Wiederspruch geführt. Es ist

Φ_{n}(q) = ∏_{λ}(q − λ),

wobei λ alle primitiven n-ten Einheitswurzeln durchläuft. Nach (5.10.1) ist

grad(Φ_{n}) = ϕ(n).

Da n > 1 ist, ist λ ≠ 1. Desweiteren ist λ = a + bi mit a, b ∈ ℝ und es gilt 1 = |λ|^{2} = a^{2} + b^{2}.

Es ist |q − λ|^{2} = |q − a − bi|^{2} = (q − a)^{2} + b^{2} = q^{2} − 2qa + \underbrace{a^{2} + b^{2}}_{=1}, woraus folgt

|q − λ|^{2} = q^{2} − 2qa + 1.

Da λ ≠ 1 ist, ist a < 1. Dies liefert folgende Abschätzung

|q − λ|^{2} = q^{2} − 2qa + 1 > q^{2} − 2q + 1 = (q − 1)^{2}.

Da q ≥ 2 ist, ist (q − 1) > 0 und es folgt |q − λ| > q − 1. Also

|Φ_{n}(q)| = ∏_{λ} |q − λ| > ∏_{λ}(q − 1) = (q − 1)^{φ(n)} ≥ q − 1, da q − 1 ≥ 1.

Zusammenfassend gilt |Φ_{n}(q)| > q − 1 im Widerspruch zur vorherigen Aussage |Φ_{n}(q)| ≤ q − 1 (vergleiche (⋆⋆)).

Also ist jeder endliche Schiefkörper kommutativ.

□

9. Endlichdimensionale reelle Algebren  Christian Nelius

9 Endlichdimensionale reelle Algebren

9.1 Definition a) Eine (reelle) Algebra (oder auch IR–Algebra) A ist ein IR–Vektorraum, auf dem eine IR–bilineare Multiplikation

A × A ⟶ A , (x, y) ⟼ x · y (=: xy)

definiert ist.

b) Eine reelle Algebra A heißt assoziativ, wenn die Multiplikation assoziativ ist.

c) Eine reelle Algebra A heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

d) e ∈ A heißt Einselement der Algebra, wenn x · e = x = e · x für alle x ∈ A gilt.

e) dim A := dim_{IR}(A) heißt die Dimension der reellen Algebra A.

f) Eine reelle Algebra A heißt nullteilerfrei, wenn für alle x, y ∈ A gilt: x · y = 0 ⟹ x = 0 oder y = 0 .

g) Eine reelle Algebra A heißt alternativ wenn für alle x, y ∈ A gilt: x · (x · y) = x^{2} · y und (x · y) · y = x · y^{2} .

9.2 Bemerkung a) Bei einer reellen Algebra A treten insgesamt 5 Verknüpfungen auf, die zum Teil mit denselben Symbolen bezeichnet werden: Die Körperaddition und –multiplikation auf IR, die Addition und die Skalarmultiplikation auf dem Vektorraum A und die Multiplikation auf der Algebra A. Diese Verknüpfungen sind in vielfacher Weise miteinander verzahnt, was durch die entsprechenden Körper–, Vektorraum– und Algebraeigenschaften zum Ausdruck kommt.

b) Die IR–Bilinearität der Multiplikation bedeutet in Formeln ausgedrückt:

(αx + βy) · z = α(x · z) + β(y · z)
x · (αy + βz) = α(x · y) + β(x · z)

Dies muß für alle α, β ∈ IR und x, y, z ∈ A gelten.

c) Aus b) folgt insbesondere α(x·y) = α(x·y) = x·(αy) für alle α ∈ IR und x, y ∈ A.

d) Wenn eine Algebra ein Einselement besitzt, so ist dieses eindeutig bestimmt.

e) Die Eigenschaft “alternativ” ist eine Abschwächung der Assoziativität (ein besserer Name wäre wohl “halb–assoziativ”). Jede assoziative Algebra ist insbesondere alternativ.

f) Verallgemeinerung: An Stelle von IR kann man allgemeiner auch einen beliebigen Körper K nehmen. Ein K–Vektorraum mit einer K–bilinearen Multiplikation heißt dann eine K–Algebra .

9.3 Beispiele a) IR und C sind kommutative und assoziative reelle Algebren mit Einselement. Beide sind nullteilerfrei und besitzen die Dimension 1 bzw. 2 .

b) M_{n}(IR) und M_{n}(C) sind assoziative Algebren mit Einselement, die für n ≥ 2 nicht kommutativ und nicht nullteilerfrei sind. dim M_{n}(IR) = n^{2} und dim M_{n}(C) = 2n^{2} .

c) Der Schiefkörper IH = \{( \begin{matrix}w & −z \\ \overline{z} & \overline{w} \end{matrix} ) | w, z ∈ C \} der Quaternionen ist eine 4–

dimensionale, nullteilerfreie, assoziative und nichtkommutative IR–Algebra mit einem Einselement.

d) Es bezeichne × das äußere Produkt (oder Vektorprodukt) auf dem Anschauungsraum IR^{3}. Aus der Linearen Algebra I ist bekannt, daß das äußere Produkt IR–bilinear, nicht assoziativ und antikommutativ ist (a × b = −b × a). Daraus folgt a × a = 0 für alle a ∈ IR^{3} . Folglich ist IR^{3} eine nicht assoziative und nicht kommutative Algebra, die auch nicht nullteilerfrei ist.

e) Es bezeichne Sym_{n}(IR) ⊆ M_{n}(IR) den Unterraum der symmetrischen Matrizen. Eine Multiplikation auf Sym_{n}(IR) sei definiert durch

A · B := \frac{1}{2}(AB + BA) (A, B ∈ Sym_{n}(IR))

Man rechnet leicht nach, daß Sym_{n}(IR)) eine endlichdimensionale kommutative Algebra mit Einselement ist, die für n ≥ 2 nicht assoziativ ist.

f) Jeder reelle Vektorraum V ≠ 0 läßt sich immer zu einer asoziativen und kommutativen Algebra mit Eins machen: Wähle zu einem festen Vektor e ∈ V einen Unterraum U ⊆ V mit V = IRe ⊕ U . Zwei Elemente x = αe + u , x′ = α′e + u′ ∈ V (α, α′ ∈ IR, u, u′ ∈ U) werden dann nach der Vorschrift

x · x′ := (αα′)e + αu′ + α′u

multipliziert. Diese Multiplikation hat die gewünschten Eigenschaften, insbesondere ist e das Einselement.

g) Ein beliebiger IR–Vektorraum V wird durch die Multiplikation x · y := 0 zu einer trivialen Algebra.

h) Der Polynomring IR[T] ist ein unendlichdimensionaler IR–Vektorraum. Die Polynommultiplikation macht IR[T] zu einer assoziativen, kommutativen und nullteilerfreien Algebra mit Einselement (IR[T] ist Vektorraum und Integritätsbereich!).

9.4 Definition Ein Unterraum U einer IR–Algebra A heißt eine IR–Unteralgebra von A, wenn gilt:

x · y ∈ U für alle x, y ∈ U .

9.5 Beispiele a) \{( \begin{matrix}α & −β \\ β & α \end{matrix} ) | α, β ∈ IR \} ⊆ M_{2}(IR) ist eine 2–dimensionale Un-

teralgebra von M_{2}(IR) .

b) IH ist eine 4–dimensionale Unteralgebra von M_{2}(C) .

c) Die Menge Δ_{n}(IR) der oberen Dreiecksmatrizen ist eine \frac{1}{2}n(n + 1)–dimensionale Unteralgebra von M_{n}(IR) .

d) Die Menge Δ_{n}(C) der oberen Dreiecksmatrizen ist eine n(n + 1)–dimensionale Unteralgebra von M_{n}(C) .

9.6 Definition A und B seien reelle Algebren. Eine Abbildung f : A ⟶ B heißt ein IR–Algebrahomomorphismus, wenn gilt:

i) f ist IR–linear ii) f(x · y) = f(x) · f(y) für alle x, y ∈ A.

9.7 Beispiele f : C ⟶ M_{2}(IR) , α + iβ ⟼ ( \begin{matrix}α & −β \\ β & α \end{matrix} ) ist ein injektiver Algebra-

homomorphismus, d.h. C ist algebra–isomorph zu einer Unteralgebra von M_{2}(IR) .

b) Ist A eine Algebra mit Einselement e, so ist f : IR ⟶ A , α ⟼ αe ein injektiver Algebrahomomorphismus.

c) Ist A eine eindimensionale Algebra mit Einselement, so folgt A ≅ IR .

9.8 Satz Jede eindimensionale reelle Algebra mit nichttrivialer Multiplikation besitzt ein Einselement und ist isomorph zu IR .

Die Algebren IR, C und IH besitzen alle ein Einselement und sind Schiefkörper, d.h. jedes Element ≠ 0 besitzt ein multiplikatives Inverses. Wir wollen diese Eigenschaft von Algebren herausstellen, nehmen aber die Formulierung so vor, daß wir nicht die Existenz eines Einselementes voraussetzen müssen. Unter gewissen zusätzlichen Voraussetzungen folgt diese aber automatisch.

9.9 Definition Eine reelle Algebra A ≠ 0 heißt reelle Divisionsalgebra, wenn für jedes a ∈ A \ {0} die Gleichungen

ax = b und ya = b

für \underline{alle} b ∈ A \underline{eindeutig} in A lösbar sind.

9.10 Beispiele a) IR und C sind Divisionsalgebren der Dimension 1 bzw. 2, die beide assoziativ, kommutativ und nullteilerfrei sind und die ein Einselement besitzen.

b) IH ist eine 4–dimensionale Divisionsalgebra, die nicht kommutativ ist.

c) M_{n}(IR) und M_{n}(C) sind für n > 1 keine Divisionsalgebren.

d) Der Quotientenkörper IR(T) von IR[T] ist eine unendlichdimensionale reelle Divisionsalgebra.

e) Jede Divisionsalgebra ist nullteilerfrei.

9.11 Lemma Jede alternative reelle Divisionsalgebra besitzt ein Einselement.

9.12 Satz Ist A eine assoziative reelle Divisionsalgebra, so ist (A \ {0}, ·) eine Gruppe und (A, +, ·) somit ein Schiefkörper.

9.13 Bemerkung a) Der Beweis von (9.12) läßt sich auch rein gruppentheoretisch ohne (9.11) beweisen. Es gilt nämlich der folgende Satz:

Satz: G sei eine nichtleere Menge mit einer assoziativen Verknüpfung ⋆. Genau dann ist (G, ⋆) eine Gruppe, wenn gilt: Für beliebige a, b ∈ G sind die Gleichungen a ⋆ x = b und y ⋆ a = b in G lösbar. (Beweis als Übungsaufgabe!)

b) Eine assoziative reelle Divisionsalgebra A ist ein Schiefkörper und enthält eine zu IR isomorphe Unteralgebra.

9.14 Satz Für eine endlichdimensionale reelle Algebra A sind folgende Aussagen äquivalent:

a) A ist eine Divisionsalgebra

b) A ist nullteilerfrei.

9.15 Satz Jede endlichdimensionale reelle Divisionsalgebra A mit Einselement, deren Dimension eine ungerade Zahl ist, ist isomorph zu IR .

Wir wollen uns jetzt kurz ein konstruktives Verfahren zur Bildung von reellen Algebren anschauen.

9.16 Bemerkung Sei V ein n–dimensionaler IR–Vektorraum und {e_{1}, e_{2}, …, e_{n}} eine Basis von V . Eine Multiplikation ist eindeutig festgelegt, wenn man die n^{2} Produkte

e_{μ} · e_{ν} (μ, ν = 1, 2, …, n)

vorgibt. Die IR–bilineare Multiplikation V × V ⟶ V ist dann durch die Vorschrift

x · y := ∑_{μ,ν=1}^{n}(α_{μ}α_{ν})e_{μ}e_{ν} für x = ∑_{μ=1}^{n} α_{μ}e_{μ} und y = ∑_{ν=1}^{n} α_{ν}e_{ν}

definiert. Um dabei etwa e_{1} zum Einselement zu machen, muß man nur

e_{1}e_{ν} = e_{ν} = e_{ν}e_{1} (für alle ν = 1, 2, …, n)

setzen. Es gelten die beiden folgenden Sätze:

9.17 Satz Die oben definierte Algebra ist genau dann assoziativ (kommutativ), wenn die Multiplikation der Basisvektoren assoziativ (kommutativ) ist.

9.18 Satz Ist W eine weitere reelle Algebra, so ist eine IR–lineare Abbildung f : V ⟶ W genau dann ein Algebrahomomorphismus, wenn gilt:

f(e_{μ}e_{ν}) = f(e_{μ})f(e_{ν}) (für alle μ, ν = 1, 2, …, n)

9.19 Beispiel Wir betrachten die kanonische Basis {e_{1}, e_{2}} von IR^{2}, die aus den beiden Einheitsvektoren e_{1} := (1, 0) und e_{2} := (0, 1) besteht. Für die Basisvektoren legen wir die folgende Multiplikationstafel fest:

\begin{aligned}& e_{1} & e_{2} \\ e_{1} & e_{1} & e_{2} \\ e_{2} & e_{2} & −e_{1} \end{aligned}

Die dadurch definierte Multiplikation auf IR^{2} ist nach den obigen Überlegungen assoziativ und kommutativ und besitzt e_{1} als neutrales Element. Wir berechnen jetzt das Produkt x · y für x = (α_{1}, α_{2}) = α_{1}e_{1} + α_{2}e_{2} und y = (β_{1}, β_{2}) = β_{1}e_{1} + β_{2}e_{2} und benutzen dabei die obige Multiplikationstafel der Basisvektoren .

x · y = (α_{1}e_{1} + α_{2}e_{2})(β_{1}e_{1} + β_{2}e_{2})
= α_{1}β_{1}(e_{1}e_{1}) + α_{1}β_{2}(e_{1}e_{2}) + α_{2}β_{1}(e_{2}e_{1}) + α_{2}β_{2}(e_{2}e_{2})
= α_{1}β_{1}e_{1}) + α_{1}β_{2}e_{2} + α_{2}β_{1}e_{2} − α_{2}β_{2}e_{1}
= (α_{1}β_{1} − α_{2}β_{2})e_{1} + (α_{1}β_{2} + α_{2}β_{1})e_{2}
= (α_{1}β_{1} − α_{2}β_{2} , α_{1}β_{2} + α_{2}β_{1})

Das Ergebnis entspricht genau der Multiplikation komplexer Zahlen, d.h. wir haben auf diesem Wege aus IR^{2} den Körper der komplexen Zahlen gewonnen.

9.20 Beispiel

Die Quaternionenalgebra H bzw IH

Sei {e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}} die kanonische Basis von IR^{4}, die aus den Einheitsvektoren besteht.

Eine Multiplikation auf IR^{4} wird entsprechend (9.16) auf dieser Basis durch die folgende Tafel definiert:

e_{1} e_{2} e_{3} e_{4}
e_{1} e_{1} e_{2} e_{3} e_{4}
e_{2} e_{2} −e_{1} e_{4} −e_{3}
e_{3} e_{3} −e_{4} −e_{1} e_{2}
e_{4} e_{4} e_{3} −e_{2} −e_{1}

Dadurch wird IR^{4} zu einer reellen Algebra, die wir mit H bezeichen (Hamilton’sche Algebra).

Es sei IH der von den über IR linear unabhängigen Matrizen E := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , I :=

( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) ,

J := ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , K := ( \begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} ) erzeugte reelle Unterraum von M_{2}(C). Expli-

zit ist IH die folgende Menge:

\begin{aligned}IH & = & \{αE + βI + γJ + δK | α, β, γ, δ ∈ IR\} \\ & = & \{( \begin{matrix}w & −z \\ \overline{z} & \overline{w} \end{matrix} ) | w, z ∈ C \} ⊆ M_{2}(C) \end{aligned}

Bezgl. der Matrizenaddition und –multiplikation ist IH ein nichtkommutativer Schiefkörper, und damit eine nichtkommutative, assoziative reelle Divisionsalgebra (Quaternionenalgebra aus (8.1)) . Die Matrizenprodukte von je zwei Matrizen der Basis {E, I, J, K} sind in der folgenden Tafel zusammengefaßt:

E  I J K
E E  I J K
I I −E K −J
J J −K −E  I
K K  J −I −E

Die durch lineare Fortsetzung definierte IR–lineare Abbildung

f : H ⟶ IH

mit e_{1} ⟼ E , e_{2} ⟼ I , e_{3} ⟼ J , e_{4} ⟼ K ist ein IR–Algebraisomorphismus nach (9.16b), da sich die Basisvektoren aus der kanonischen Basis entsprechend multiplizieren wie die Matrizen der Basis {E, I, J, K} . Dieser Isomorphismus ermöglicht es, in IH gültige Rechenregeln nach H zu übertragen. Da z.B. die Matrizenmultiplikation auf IH bekanntermaßen assoziativ ist, läßt sich sofort schließen, daß auch die Multiplikation auf H assoziativ ist. Dies erspart den recht langwierigen direkten Nachweis, daß die auf H definierte Multiplikation assoziativ ist.

Es soll im folgenden auf zwei Punkte hingewiesen werden, die als Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Frobenius wichtig sind.

9.21 Bemerkung Aus der Linearen Algebra ist bekannt, daß jede quadratische Matrix ihr charakteristisches Polynom erfüllt (Satz von Cayley–Hamilton). Ist also p_{A} ∈ C[T]

das charakteristische Polynom einer Matrix A = ( \begin{matrix}w & −z \\ \overline{z} & \overline{w} \end{matrix} ) ∈ IH , so gilt p_{A}(A) = O.

Für p_{A} gilt

p_{A} = T^{2} − spur(A) T + det(A)

Nun ist spur(A) = 2ℜ(w) ∈ IR und det(A) = |w|^{2} + |z|^{2} ∈ IR, so daß sogar p_{A} ∈ IR[T] richtig ist. Es folgt

O = p_{A}(A) = A^{2} − spur(A) A + det(A)E

Damit gibt es zu jedem A ∈ IH Elemente α, β ∈ IR , für die gilt A^{2} − αA − βE = O, oder

A^{2} = αA + βE .

Eine solche Algebra wird später als quadratisch bezeichnet, so daß wir sagen können:

Satz: IH ist eine quadratische Algebra.

9.22 Bemerkung IRi ist die Menge der rein–imaginären Elemente von C , und es gilt

C = IR1 ⊕ IRi .

Hier ist die Menge ImC := IRi sogar ein Unterraum von C , der sog. Imaginärraum von C .

In der Quaternionenalgebra H gilt

H = IRe_{1} ⊕ \underbrace{IRe_{2} ⊕ IRe_{3} ⊕ IRe_{4}}_{=:ImH}

Hierbei heißt ImH = IRe_{2} ⊕ IRe_{3} ⊕ IRe_{4} der Imaginärraum von H, dessen Elemente als rein–imaginär bezeichnet werden, also

H = IRe_{1} ⊕ Im H

Im H läßt sich auch basis–unabhängig definieren. Nach (8.1e) gilt für ein Element x = αe_{1} + βe_{2} + γe_{3} + δe_{4} ∈ H

x^{2} = 2αx − (α^{2} + β^{2} + γ^{2} + δ^{2})e_{1} .

Wegen x ∈ Im H ⟺ α = 0 folgt x = 0 oder x ∉ IRe_{1} für ein Element x ∈ Im H und x^{2} = (β^{2} + γ^{2} + δ^{2})e_{1} ∈ IRe_{1}. Folglich

Im H = { x | x ∈ Im H , x ∉ IRe_{1} \ {0} und x^{2} ∈ IRe_{1} }

Jedes x ∈ Im H läßt sich also eindeutig in der Form

x = αe_{1} + u

darstellen, wobei αe_{1} der skalare Anteil oder der Realteil und u ∈ Im H der vektorielle Anteil oder der Imaginärteil von x ist.

Es sei noch darauf hingewiesen, daß die Menge der rein–imaginären Elemente einer Algebra mit Eins i. a. kein Unterraum zu sein braucht. Dies gilt jedoch, wenn A eine endlich–dimensionale alternative Divisionsalgebra ist, wie wir im 10. Vortrag sehen werden.

9.23 Beispiel \underline{Die Oktavenalgebra O von Cayley} \{e_{1}, e_{2}, …, e_{8}\} sei die kanonische Basis von IR^{8}, die aus den Einheitsvektoren besteht. Eine Multiplikation auf IR^{8} wird entsprechend (9.16) auf dieser Basis definiert:

e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} e_{7} e_{8}
e_{1} e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} e_{7} e_{8}
e_{2} e_{2} −e_{1} e_{4} −e_{3} e_{6} −e_{5} −e_{8} e_{7}
e_{3} e_{3} −e_{4} −e_{1} e_{2} e_{7} e_{8} −e_{5} −e_{6}
e_{4} e_{4} e_{3} −e_{2} −e_{1} e_{8} −e_{7} e_{6} −e_{5}
e_{5} e_{5} −e_{6} −e_{7} −e_{8} −e_{1} e_{2} e_{3} e_{4}
e_{6} e_{6} e_{5} −e_{8} e_{7} −e_{2} −e_{1} −e_{4} e_{3}
e_{7} e_{7} e_{8} e_{5} −e_{6} −e_{3} e_{4} −e_{1} −e_{2}
e_{8} e_{8} −e_{7} e_{6} e_{5} −e_{4} −e_{3} e_{2} −e_{1}

Dadurch wird IR^{8} zu einer reellen Algebra, der sog. Oktavenalgebra O von Cayley. Dies ist eine endlichdimensionale, nicht assoziative, alternative, nichtkommutative Divisionsalgebra mit einem Einselement.

Wir haben damit die wesentlichen Beispiele für reelle Divisionsalgebren zusammengestellt, wie die drei folgenden Eindeutigkeitssätze zeigen.

9.24 Satz

Frobenius, 1877

Jede endlichdimensionale assoziative reelle Divisionsalgebra ist zu IR, C oder IH isomorph.

9.25 Satz \underline{Zorn, 1933}

Jede endlichdimensionale alternative, nicht assoziative reelle Divisionsalgebra ist zu O isomorph.

9.26 Satz \underline{Hopf, 1940}

a) Jede endlichdimensionale kommutative reelle Divisionsalgebra ist höchstens 2– dimensional.

b) Jede endlichdimensionale kommutative reelle Divisionsalgebra mit Einselement ist isomorph zu IR oder C .

In diesem Seminar werden wir noch einen Beweis des Satzes von Frobenius kennenlernen (10. Vortrag), die Beweise der beiden anderen Sätze findet man ebenfalls in dem Buch von Ebbinghaus et al. Erstaunlicherweise werden bei dem Beweis des Satzes von Hopf topologische Methoden benötigt.

Einige historische Anmerkungen

Nachdem sich zu Beginn des 19. Jahrhunderts die komplexen Zahlen bei den Mathematikern durchgesetzt hatten, wurde versucht, C umfassende Systeme mit entsprechenden Recheneigenschaften (“hyperkomplexe Systeme”) zu finden. Nach vergeblichen Versuchen kam man dahin, daß das “Permanenzprinzip” nicht mehr vollständig aufrechterhalten werden könnte, sondern daß man auf Eigenschaften wie Kommutativität oder Assoziativität der Multiplikation verzichten müßte . Gefunden wurden dann die nichtkommutativen Quaternionen von Hamilton und die nichtassoziativen Oktaven von Graves und Cayley. Erst viel später stellte sich dann heraus, daß es keine weiteren Strukturen dieser Art mehr geben kann (Sätze von Frobenius, Zorn und Hopf) .

1799 Fundamentalsatz der Algebra (Dissertation von Gauß)

1843 Einführung der Quaternionen duch Hamilton als Elemente des IR^{4} mit einer speziellen Multiplikation

1843 Entdeckung der Oktaven durch John T. Graves, 1845 von Cayley wiedergefunden

1858 Einführung der Matrizen durch Cayley. Die Quaternionen werden dabei als spezielle (2 × 2)–Matrizen über C dargestellt

1877 Satz von Frobenius
1933 Satz von Zorn
1940 Satz von Hopf

Carl Friedrich Gauß  1777–1855
William Rowan Hamilton 1805–1865
Arthur Cayley  1821–1895
Ferdinand Georg Frobenius 1849–1917
Heinz Hopf  1894–1971
Max Zorn  1906–1993

10. Ein Satz von Frobenius  Karin Büker

10 Ein Satz von Frobenius

Ziel dieser Ausarbeitung soll sein, den 1877 aufgestellten Satz von Ferdinand Georg Frobenius zu beweisen, welcher Aufschluss darüber gibt, dass es weitaus weniger interessante reelle Algebren gibt, als Mathematikergenerationen, (unter anderem Hamilton) zuvor annahmen. Dieser Satz besagt, dass es bis auf Isomorphie nur drei reelle endlich-dimensionale, assoziative Divisonsalgebren gibt: ℝ, ℂ und H, die vierdimensionale Hamiltonsche Algebra der Quaternionen. Zuvor werden die Hilfsmittel erläutert, die zum Beweis des Satzes von Frobenius nötig sind. Zunächst werden zwei Definitionen angeführt, welche an die Inhalte der Vorträge 8 und 9 anknüpfen.

10.1 Definition In einer Algebra A mit Einselement e nennt man drei Elemente u, v, w ein \underline{Hamiltonsches Tripel}, wenn die neun Hamiltonschen Bedingungen erfüllt sind:

u^{2} = v^{2} = w^{2} = −e , w = uv = −vu , u = vw = −wv , v = wu = −uw.

10.2 Definition Für jede Algebra A mit Einselement e ist

ImA := {x ∈ A : x^{2} ∈ ℝe und x ∉ ℝe \ {0}}

die Menge der \underline{rein-imaginären} Elemente.

10.3 Bemerkung a) Aus der Definition folgt ℝe ∩ ImA = 0 und u ∈ ImA ⇒ αu ∈ ImA für jedes α ∈ ℝ.

b) Aus u, v ∈ ImA folgt nicht ohne weiteres u + v ∈ ImA. Deswegen ist ImA im allgemeinen kein Untervektorraum von A.

10.4 Lemma (Unabhängigkeitslemma)

a) Sind u, v ∈ ImA linear unabhängig, so sind auch e, u, v linear unabhängig.

b) Sind u, v, u + v ∈ ImA, so folgt uv + vu ∈ ℝe.

c) Ist A nullteilerfrei, so gibt es zu jedem u ∈ ImA, u ≠ 0 ein ω ∈ ℝ, ω > 0 mit u^{2} = −ωe.

Beweis: a) Im Folgenden soll ein Widerspruchsbeweis geführt werden. Man nehme an: e, u, v, linear abhängig. Wegen u ∈ ImA lassen sich dann α, β ∈ ℝ finden mit:

v = αe + βu

Des Weiteren gilt dann:

v^{2} = (αe + βu)^{2} = αe + αeβu + βuαe + β^{2}u^{2} = αe + αβeu + αβue + β^{2}u^{2}

Weitere Umformungen ergeben:

2αβu = v^{2} − α^{2}e − β^{2}u^{2} ∈ ℝe

Aus v^{2} − α^{2}e − β^{2}u^{2} ∈ ℝe folgt αβ = 0, da u laut Definition ein Element aus der Menge der rein-imaginären Elemente ist. Daraus folgen die beiden Fälle α = 0 und β = 0. Diese werden im Folgenden zu einem Widerspruch geführt: Aus α = 0 folgt v = βu, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von v und u. Aus β = 0 folgt v = αe, im Widerspruch dazu, dass v ∈ ImA sein soll. Daraus folgt nun, dass u, v, e linear unabhängig sind.

b) Man forme (u + v)^{2} − u^{2} − v^{2} ∈ ℝe um zu: u^{2} + uv + vu + v^{2} − u^{2} − v^{2} = uv + vu. Daraus folgt dann: uv + vu ∈ ℝe.

c) Es ist lediglich zu beweisen, dass ω > 0. Der Rest gilt laut vorangegangenen Definitionen. Im Folgenden soll ein Widerspruchsbeweis geführt werden. Laut Definition gilt:

u^{2} = αe α ∈ ℝ

Man nehme an: α ≥ 0. Setze α = β^{2}, β ∈ ℝ. Dann ist u^{2} = β^{2}e, woraus folgt:

0 = u^{2} − β^{2}e = (u + βe)(u − βe)

Aus der Nullteilerfreiheit von A folgt: (u + βe) = 0 oder (u − βe) = 0. Aus u + βe = 0 folgt jedoch u = −βe ∈ ℝe im Widerspruch dazu, dass laut Definition u ∈ ImA gilt. Aus u − βe = 0 folgt u = βe ∈ ℝe, was aus eben genannten Gründen auch einen Widerspruch darstellt. Daraus folgert man nun: α < 0.

□

10.5 Bemerkung Nach 9.4 c) kann man von jedem rein-imaginären Element u′ ≠ 0 durch skalare Multiplikation zu einem Element u = γu′ mit u^{2} = −e übergehen.

10.6 Satz Ist u, v, w ein Hamiltonsches Tripel in A, so gilt:

a) e, u, v, w sind linear unabhängig.

b) Die Abbildung f : H → A, (α, β, γ, δ) ↦ αe + βu + γv + δw ist ein injektiver Algebra-Homomorphismus.

c) Es gilt ℝu + ℝv + ℝw ⊂ ImA. Insbesondere enthält ImA einen dreidimensionalen Untervektorraum.

Beweis: a) Zunächst wird durch einen Widerspruchsbeweis gezeigt, dass u, v linear unabhängig sind. Man nehme an, dass u, v linear abhängig sind. Dann ist v ∈ ℝu und v = αu, α ∈ ℝ. Daraus folgt:

vu = αuu = α(−e) = −αe

und

uv = uαu = α(−e) = −αe.

Also: uv = vu woraus −w = w folgt und somit auch w = 0, was im Widerspruch dazu steht, dass laut Hamiltonschen Bedingungen w^{2} = −e ist. Demnach sind u, v linear unabhängig. Aus (10.4.a) folgt nun: e, u, v sind linear unabhängig. Nun ist noch zu zeigen, dass e, u, v, w linear unabhängig sind. Dazu nimmt man an, dass e, u, v, w linear abhängig sind. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen ρ, σ, τ ∈ ℝ, so dass gilt:

w = uv = ρe + σu + τv

Linksmultiplikation mit u liefert: u^{2}v = ρue + σu^{2} + τuv.

Unter Berücksichtigung von u^{2} = −e erhält man:

v = −ρu + σe − τw

Setzt man diese Gleichung in w = uv = ρe + σu + τv ein, so erhält man für τ ≠ 0:

v = \frac{1}{τ} w − \frac{ρ}{τ}e − \frac{σ}{τ} u

(Der Fall τ = 0 muss nicht beachtet werden, da in diesem Fall gilt: v = −ρu + σe, was im Widerspruch dazu steht, dass v, u, e nach (10.4a) linear unabhängig sind.) Führt man nun einen Koeffizientenvergleich für die Gleichungen v = −ρu+σe−τw und v = \frac{1}{τ}w − \frac{ρ}{τ}e − \frac{σ}{τ} u durch, so erzwingt die Eindeutigkeit der Darstellung −τ = \frac{1}{τ}. Daraus folgt τ^{2} = −1. Da jedoch τ ∉ ℝ, hat man einen Widerspruch. Daraus folgt: e, u, v, w sind linear unabhängig.

b) Nun ist zu zeigen, dass die Abbildung f ein injektiver Algebra-Homomorphismus ist. Zunächst soll nachgewiesen werden, dass f ein Algebra-Homomorphismus ist: Wegen:

f(e) = e, f(i) = u, f(j) = v, f(k) = w

werden die Elemente der Basis {e, i, j, k} von H auf Basiselemente aus A geschickt und f ist nach dem Satz über lineare Fortsetzung für alle Elemente definiert und ℝ-linear. Die weiteren Eigenschaften für einen Algebra-Homomorphismus:

f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ A

müssen laut (9.18) nur für die Basiselemente nachgewiesen werden. Da e, i, j, k ∈ H denselben Verknüpfungsregeln entsprechen, wie e, u, v, w ∈ A, ist dies klar. Somit ist f ein Algebra-Homomorphismus. Die Injektivität von f ist äquivalent dazu, dass der Kern von f nur aus dem Nullelement von H besteht. f(α, β, γ, δ) bildet genau dann auf das Nullelement von H ab, wenn α = β = γ = δ = 0. Dieser Fall tritt hier ein, da e, u, v, w linear unabhängig sind. Demnach ist f injektiv.

c) Zunächst ist zu zeigen: ℝu + ℝv + ℝw ⊂ ImA. Dazu zeige man: (βu + γv + δw)^{2} ∈ ℝe mit β, γ, δ ∈ ℝ:

(βu + γv + δw)^{2} = β^{2}u^{2} + βγuv + βδuw + γ^{2}v^{2} + γβvu + γδvw + δβwu + δγwv + δ^{2}w^{2}

= −(β^{2} + γ^{2} + δ^{2})e ∈ ℝe

Nun ist noch zu zeigen, dass ℝu+ℝv+ℝw (im Folgenden als U bezeichnet) ein dreidimensionaler Untervektorraum von A ist. Dass der Unterraum nicht leer ist, da mindestens das Nullelement von A in ihm enthalten sein muss, ist klar. Es ist noch die Abgeschlossenheit bezüglich Addition und sklararer Multiplikation zu prüfen. Dazu sei x = (au + bv + cw) a, b, c ∈ ℝ und y = (du + fv + gw) d, f, g ∈ ℝ. Dann ist:

x + y = ((a + d)u + (b + f)v + (c + g)w) ∈ U

und somit die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition gezeigt. Sei nun α ∈ ℝ dann ist:

αx = (αau + αbv + αcw) ∈ U

und somit auch die Abgeschlossenheit bezüglich skalarer Multiplikation gezeigt. Da {u, v, w} eine Basis von U ist, ist dim(U)=3.

□

10.7 Lemma Sei U ein zweidimensionaler Untervektorraum von ImA. Dann gibt es zu jedem p ∈ U ein q ∈ U \ ℝp, so dass gilt: pq + qp = 0.

Beweis: Im Folgenden ist nur der Fall p ≠ 0 zu betrachten. Der Fall p = 0 ist trivial, da 0q + q0 = 0 für alle q ∈ U gilt. Sei also p ≠ 0. Dann gilt p^{2} = αe mit α ∈ ℝ, α ≠ 0. Man wähle x ∈ U, so dass p und x linear unabhängig sind. Nach (10.4b) gilt dann:

px + xp = βe β ∈ ℝ.

Durch Nachrechnen findet man heraus, dass q := x+ξp mit ξ := −β(2α)^{−1} die Gleichung erfüllt:

pq + qp = p(x − \frac{β}{2α}p) + (x − \frac{β}{2α}p)p = px − \frac{β}{2α}p^{2} + xp − \frac{β}{2α}p^{2} =^{p^{2}=αe}

px − \frac{β}{2} e + xp − \frac{β}{2} e = px + xp − βe = βe − βe = 0

□

10.8 Satz (Existenssatz für Hamiltonsche Tripel) Sei A eine assoziative, nullteilerfreie Algebra mit Einselement e und sei U ein zweidimensionaler Untervektorraum von ImA. Dann gibt es zu jedem u ∈ U mit u^{2} = −e ein v ∈ U, so dass u, v, uv ein Hamiltonsches Tripel bilden.

Beweis: Nach (10.4) und (10.5) existiert ein v ∈ U mit v^{2} = −e. Nach (10.7) gibt es ein u′ ∈ U mit u′v + vu′ = 0. Wähle γ ∈ ℝ mit u = γu′ und u^{2} = −e. Dann ist auch uv + vu = 0. Nun sind die Hamiltonschen Bedingungen für u, v, w := uv zu zeigen:

1) vw = v(uv) = v(−vu) = eu = −u
2) wv = (uv)v = uv^{2} = u(−e) = −u ⇒ wv = −vw
3) wu = (uv)u = (−vu)u = −vu^{2} = −v(−e) = v
−uw = −(u(uv)) = −(−ev) = v
⇒ wu = −uw

Zudem gilt: u^{2} = v^{2} = −e. Nun ist also noch zu zeigen: w^{2} = −e. Es gilt: −v = uw = (vw)w = vw^{2}. Daraus folgt:

0 = vw^{2} + v = vw^{2} + ve = v(w^{2} + e).

Da A nullteilerfrei ist, und v ≠ 0 laut Definition, folgt aus dieser Gleichung: w^{2} = −e. Damit sind alle Hamiltonschen Bedingungen gezeigt.

□

10.9 Definition Eine Algebra A mit Einselement e heißt \underline{quadratisch}, wenn jedes Element x ∈ A einer quadratischen Gleichung

x^{2} = αe + βx

mit α, β ∈ ℝ genügt.

10.10 Lemma (Lemma von Frobenius) Ist A eine quadratische Algebra, so ist ImA ein Untervektorraum von A und es gilt: A = ℝe ⨁ ImA.

Beweis: Hier ist zunächst zu zeigen, dass ImA ein Untervektorraum von A ist. Die erste nachzuprüfende Bedingung, dass der Untervektorraum U nicht leer ist, folgt direkt daraus, dass das Nullelement in ImA liegt, und somit auch in jedem Untervektorraum enthalten sein muss. Die Abgeschlossenheit bezüglich skalarer Multiplikation folgt auch direkt aus (10.3a). Es ist also nur noch die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition nachzuprüfen. Seien u, v ∈ ImA beliebig. Zu zeigen: u+v ∈ ImA. Dazu werden zwei Fälle unterschieden: \underline{1.Fall:} u, v sind linear abhängig. Dann gilt: v = αu, und es ist:

u + v = u + αu = (1 + α)u ∈ ImA.

\underline{2.Fall:} u, v sind linear unabhängig. Da A quadratisch ist, bestehen die Gleichungen:

(u + v)^{2} = α_{1}e + β_{1}(u + v) , (u − v)^{2} = α_{2}e + β_{2}(u − v) (α_{1}, α_{2}, β_{1}, β_{2} ∈ ℝ)

Addieren und Ausmultiplizieren liefert:

(u + v)^{2} + (u − v)^{2} = α_{1}e + β_{1}(u + v) + α_{2}e + β_{2}(u − v)
⇒ 2u^{2} + 2v^{2} − (α_{1} + α_{2})e = (β_{1} + β_{2})u + (β_{1} − β_{2})v

2u^{2} + 2v^{2} − (α_{1} + α_{2})e ∈ ℝe lässt sich schreiben als τe mit τ ∈ ℝ. Dann ist:

(β_{1} + β_{2})u + (β_{1} + β_{2})v − τe = 0.

Daraus folgt dann mit (10.4a) β_{1} + β_{2} = β_{1} − β_{2} = τ = 0 und daraus auch β_{1} = β_{2} = 0. Weiter folgert man: (u + v)^{2} = α_{1}e ∈ ℝe. Nun ist noch zu zeigen: u + v ∉ ℝe. Man führe dazu einen Widerspruchsbeweis durch: Annahme: u + v ∈ ℝe Daraus folgt: u + v = αe mit α ∈ ℝ, α ≠ 0. Also gilt auch: u + v − αe = 0, was einen Widerspruch darstellt, da u, v, e linear unabhängig sind. Insgesamt gilt: u + v ∈ ImA. Nun ist noch zu zeigen: A = ℝe ⨁ ImA. ℝe ∩ ImA = {0} folgt direkt aus (10.3a). Es gilt also nur noch nachzuweisen: A = ℝe + ImA. Zu zeigen ist also: Für jedes x ∈ A gilt: x = γe + v mit γ ∈ ℝ, v ∈ ImA. Hierzu werden zwei Fälle unterschieden: \underline{1.Fall:} Sei x ∈ ℝe ⊆ A. Dann gilt x = γe + 0 mit 0 ∈ ImA. \underline{2.Fall:} Sei x ∈ A, x ∉ ℝe beliebig. Es gilt x^{2} = αe+2βx mit α, β ∈ ℝ, da A quadratisch ist. Man erhält:

(x − βe)^{2} = x^{2} − 2βx + β^{2}e = αe + 2βx − 2βx + β^{2}e = αe + β^{2}e = (α + β^{2})e

Nun ist noch zu zeigen: x − βe ∉ ℝe, was im folgenden durch Widerspruch bewiesen wird. Annahme: x−βe ∈ ℝe, dann gilt: x−βe = τe mit β, τ ∈ ℝ. Dann gilt auch x = (τ +β)e und somit wäre x ∈ ℝe was ein Widerspruch ist, da laut Definition: x ∉ ℝ. Da x−βe ∉ ℝe gilt u := x−βe ∈ ImA. Daraus folgt x = βe+u und daraus A = ℝe+ImA.

□

10.11 Satz Sei A eine assoziative Algebra mit Einselement e. Dann ist für jedes Element x ∈ A die Abbildung

E_{x} : ℝ[T] → A , f ↦ f(x)

ein Algebra-Homomorphismus (Einsetzungshomomorphismus).

Beweis: Dieser Beweis wird in der Algebravorlesung unter (3.10) geführt.

□

10.12 Satz Jede endlich-dimensionale, assoziative Divisionsalgebra A ist quadratisch.

Beweis: Da die Algebra A assoziativ ist, und nach Satz (9.11) des Vortrages über endlichdimensionale relle Algebren ein Einselement besitzt, ist E_{x} für jedes x ∈ A definiert. Da ℝ ein Körper ist, ist ℝ[T] ein Hauptidealbereich. Daher ist Ker(E_{x}) ein Hauptideal von ℝ[T]. Im Folgenden soll durch Widerspruch bewiesen werden: Aus dim A < ∞ folgt Ker(E_{x})≠ 0. Annahme: Ker(E_{x})= 0. Dann ist

E_{x} : ℝ(T) → A, f ↦ f(x).

eine injektive ℝ-lineare Abbildung und ℝ[T] ≅ Bild(E_{x}) ist ein unendlichdimensionaler Unterraum von A, was wegen dimA < ∞ nicht möglich ist. Aus diesem Widerspruch folgt dann Ker(E_{x})≠ 0 und daraus Ker(E_{x})= (p) für ein p ∈ ℝ(T), p ≠ 0. Nach dem Ringhomomorphiesatz gilt:

ℝ[T]/Ker(E_{x}) = ℝ[T]/(p) ≅ Bild(E_{x}) ⊆ A

Da A nullteilerfrei ist, ist auch jeder Unterring von A nullteilerfrei, also auch Bild(E_{x}), und daraus folgt dann die Nullteilerfreiheit des Faktorrings ℝ[T]/(p). Aus der Nullteilerfreiheit des Faktorrings folgt wiederum die Irreduzibilität von p über ℝ, was im Folgenden durch Widerspruch bewiesen wird: Annahme: p ist nicht irreduzibel. Dann gilt: p = p_{1} · p_{2} mit p_{1}, p_{2} ∈ ℝ[T], 0 < grad(p_{i}) < grad(p). Daraus folgt:

[p_{1}]_{(p)} · [p_{2}]_{(p)} = [p]_{(p)} = [0]_{(p)} mit [p_{1}]_{(p)} ≠ [0]_{(p)} und [p_{2}]_{(p)} ≠ [0]_{(p)}

Demnach wäre der Faktorring nicht nullteilerfrei. Aus diesem Widerspruch folgt die Irreduzibilität von p über ℝ. Über ℝ kann ein irreduzibles Polynom nur den Grad 1 oder 2 haben. \underline{1.Fall:} p = T^{2} − βT − α ∈ Ker(E_{x}) (α, β ∈ ℝ). Es gilt also p(x) = 0. Eingesetzt ergibt dies:

0 = x^{2} − βx − αe,

⇒ x^{2} = βx + αe

\underline{2.Fall:} p = T + γ, γ ∈ ℝ. 0 = p(x) = x + γe

⇒ x = −γe
⇒ x^{2} = γ^{2}e = γ^{2}e + 0x

Somit genügt jedes Element x ∈ A einer quadratischen Gleichung.

□

10.13 Lemma (Quaternionenlemma) Jede endlich-dimensionale, assoziative reelle Divisionsalgebra A enthält im Falle dim(A) ≥ 3 Hamiltonsche Tripel und eineUnteralgebra B mit e ∈ B, die zur Hamiltonschen Algebra H isomorph ist. Insbesondere gilt dim(A) ≥ 4.

Beweis: Zunächst ist die Existenz Hamiltonscher Tripel in A nachzuweisen. Nach Satz (10.12) ist die Algebra A quadratisch. Nach Lemma (10.10) folgt daher: ImA ist ein Untervektorraum von A und es gilt dim(ImA) ≥ 2 wegen dim(A) ≥ 3. Nach dem Existenzsatz (10.8) gibt es also Hamiltonsche Tripel in A. Nun ist noch die Existenz von Unteralgebren B in A mit B ≅ H nachzuweisen. Es wurde bereits die Existenz Hamiltonscher Tripel in A nachgewiesen. Nach Satz (10.6) gibt es einen injektiven Algebrahomomorphismus f : H ↦ A. Folglich ist B :=Bild(f) eine Unteralgebra von A, die zu H isomorph ist. Natürlich gilt e ∈ B.

□

10.14 Satz (Frobenius, 1877) Sei A eine endlich-dimensionale, assoziative reelle Divisionsalgebra. Dann ist A entweder zu ℝ, ℂ oder H isomorph.

Beweis: Im Folgenden werden 3 mögliche Fälle unterschieden: \underline{1.Fall:} dim(A) = 1. Nach Beispiel (9.7.c) des Vortrages über endlichdimensionale reelle Algebren gilt: Ist A eine eindimensionale Algebra mit Einselement, so folgt: A ≅ ℝ. \underline{2.Fall:} dim(A) = 2. Nach Unabhängigkeitslemma (10.4) und Lemma von Frobenius (10.10) existiert ein u ∈ A mit u^{2} = −e. Im Folgenden soll gezeigt werden, dass die Abbildung

f : ℂ → A 1 ↦ e, i ↦ u

ein Algebra-Isomorphismus ist. Da die Elemente der Basis{1, i} von ℂ auf Basiselemente aus A geschickt werden, ist f nach dem Satz über lineare Fortsetzung für alle Elemente definiert und somit ist f auch ℝ-linear. Da die Multiplikation auf ℂ der Multiplikation auf A entspricht, ist f ein Algebrahomomorphismus. Die Bijektivität von f folgt aus dim(ℂ) =dim(A), und somit gilt: A ≅ ℂ.

\underline{3.Fall:} dim(A) ≥ 3. Nach dem Quaternionenlemma (10.13) existiert ein Hamiltonsches Tripel u, v, w ∈ ImA mit w = uv. Im Folgenden wird ein Beweis durch Widerspruch geführt. Annahme: dim(A) > 4. Nach (10.6.c) enthält ImA einen dreidimensionalen Untervektorraum, mit der Basis {u, v, w}. Nach dem Basisergänzungssatz existiert ein x ∈ ImA, so dass {u, v, w, x, } linear unabhängig sind, da dim(ImA)> 3. Nach Anwendung von Lemma (10.7) auf U := ℝu + ℝx ⊂ ImA existiert ein y ∈ U\ℝu mit uy + yu = 0 und y = ρu + τx τ, ρ ∈ ℝ, τ ≠ 0. Hieraus folgt: u, v, w, y sind linear unabhängig. Wegen v, w, y ∈ ImA, gilt laut (10.4b) und (10.10): v + y, w + y ∈ ImA und:

vy + yv = αe und wy + yw = βe α, β ∈ ℝ.

Da A assoziativ ist, folgt:

yw = y(uv) = (yu)v = −(uy)v = −u(yv) = −u(αe − vy) = −αu + wy = −αu + βe − yw

⇒ 2yw = −αu + βe

Rechtsmultiplikation mit w ergibt:

2yw^{2} = −αuw + βw
⇒ −2y = αv + βw

Dies ist ein Widerspruch dazu, dass u, v, w, y linear unabhängig sind. Daraus folgt: dim(A) ≤ 4. Aus dem Quaternionenlemma (10.13) folgt nun: dim(A) = 4. Da jede endlich-dimensionale, assoziative reelle Divisionsalgebra A mit dim(A) ≤ 3 eine Unteralgebra B hat, die zu H isomorph ist, gilt in diesem Fall: A = B und somit A ≅ H.

□

11. Die Auflösbarkeit der symmetrischen Gruppen  Patrick Thiemeyer

11 Die Auflösbarkeit der symmetrischen Gruppen

Aus der Vorlesung Algebra (SS 03) wissen wir, daß ein Polynom f ∈ ℚ[T] genau dann durch Radikale auflösbar ist, wenn dessen Galoisgruppe auflösbar ist (Satz10.13). Darum ist die Auflösbarkeit von Gruppen ein wichtiger und interessanter Begriff in der Algebra.

11.1 Definition Sei G eine Gruppe und e ihr neutrales Element.

1) Ein (n+1)-Tupel (G_{0}, G_{1}, ..., G_{n}) von Untergruppen von G heißt \underline{Normalreihe} (der Länge n) in G, wenn gilt:

i) G = G_{0} ⊃ G_{1} ⊃ G_{2} ⊃ ... ⊃ G_{n} = {e}

ii) Für jedes i ∈ {0, ..., n − 1} ist G_{i+1} ein Normalteiler in G_{i}

2) Ist (G_{0}, G_{1}, ..., G_{n}) eine Normalreihe in G, so heißen die Gruppen G_{i}/G_{i+1}, i ∈ {0, ..., n − 1} die Faktoren von (G_{0}, G_{1}, ..., G_{n})

11.2 Definition Eine Gruppe G heißt \underline{auflösbar}, wenn es in G eine Normalreihe mit abelschen Faktoren gibt.

11.3 Beispiel

1) Jede abelsche Gruppe ist auflösbar, aber nicht umgekehrt. (G, {e}) ist eine Normalreihe mit abelschen Faktoren.

2) S_{3} ist auflösbar: S_{3} ⊃ A_{3} ⊃ {id}.

3) Die Diedergruppe D_{n} ist für n ≥ 2 auflösbar. Dies ist die Gruppe der Drehungen und Spiegelungen eines regelmäßigen n-Ecks. Sei U_{n} die Menge aller Drehungen. Dann gilt U_{n} ⊴ D_{n} und D_{n}/U_{n} ist abelsch, weil gilt: [D_{n} : U_{n}] = 2, ∀ n ≥ 2

Um eine Normalreihe in einer Gruppe zu konstruieren, gibt es das Verfahren der Kommutatorgruppenbildung. Dazu folgende Definitionen:

11.4 Definition Sei G eine Gruppe. Für a, b ∈ G wird das Produkt [a, b] := aba^{−1}b^{−1} als \underline{Kommutator} von a und b bezeichnet. Die von allen Kommutotoren erzeugte Untergruppe K(G) von G heißt \underline{Kommutatorgruppe} von G, K(G) := ⟨\{[a, b]/a, b ∈ G\}⟩.

11.5 Bemerkung G abelsch ⇔ K(G) = {e}.

Beweis: ” ⇒ ” K(G) = ⟨{[a, b]/a, b ∈ G}⟩ = ⟨{aba^{−1}b^{−1}}⟩ = ⟨{aa^{−1}bb^{−1}}⟩, da G abelsch ist, also gilt: K(G) = {e} ” ⇐ ” K(G) = {e}, das heißt: aba^{−1}b^{−1} = e ∀a, b ∈ G ⇔ ab = eba ⇔ G abelsch.

□

11.6 Satz

1) K(G) ist Normalteiler in G (K(G) ⊴ G).

2) G/N abelsch ⇔ K(G) ⊂ N

Beweis:

1) Zu zeigen: K(G) ⊴ G

i) K(G) ≤ G nach Definition

ii) Zu zeigen: aka^{−1} ∈ K(G) ∀a ∈ G, k ∈ K(G). Sei a ∈ G, k ∈ K(G) gegeben. Dann existieren n ∈ ℕ und x_{1}, ..., x_{n}, y_{1}, ..., y_{n} ∈ G, mit k = [x_{1}, y_{1}] ∗ [x_{2}, y_{2}] ∗ ... ∗ [x_{n}, y_{n}], und es gilt: aka^{−1} = a([x_{1}, y_{1}] ∗ [x_{2}, y_{2}] ∗ ... ∗ [x_{n}, y_{n}])a^{−1}. Auf der rechten Seite kann man zwischen den Kommutatoren a^{−1}a = e ergänzen und man erhält: a[x_{1}, y_{1}]a^{−1}a[x_{2}, y_{2}]a^{−1}...a[x_{n}, y_{n}]a^{−1}. Jetzt innerhalb der Kommutatoren mit a^{−1}a ergänzen (a(x_{1}y_{1}x_{1}^{−1}y_{1}^{−1})a^{−1} = ax_{1}a^{−1}ay_{1}a^{−1}ax_{1}^{−1}a^{−1}ay_{1}^{−1}a^{−1}) und man kommt zu dem Ergebnis: aka^{−1} = \underbrace{[ax_{1}a^{−1}, ay_{1}a^{−1}] ∗ ... ∗ [ax_{n}a^{−1}, ay_{n}a^{−1}]} ,

∈ K(G)

da das Produkt aus Kommutatoren in K(G) liegt.

2)” ⇒ ” Sei ν : G → G/N der natürliche Gruppenhomomorphismus mit a ↦ aN. Dann gilt: ν([a, b]) = ν(aba^{−1}b^{−1}) = ν(a)ν(b)ν(a^{−1})ν(b^{−1}) = ν(a)ν(b)ν(a)^{−1}ν(b)^{−1} = ν(a)ν(a)^{−1}ν(b)ν(b)^{−1}, da G/N abelsch ist. Daraus folgt: ν([a, b]) = ν(e) = N ∀a, b ∈ G, also gilt [a, b] ∈ ker(ν) = N und damit ist K(G) ⊆ N

” ⇐ ” K(G) ⊆ N ⇒ ∀a, b ∈ G : (aN)(bN) = (ab)N = (ab[b^{−1}, a^{−1}])N = (abb^{−1}a^{−1}ba)N = (ba)N = (bN)(aN). Das heißt, die Faktorgruppe G/N ist abelsch.

□

11.7 Beispiel 1) K(S_{n}) = A_{n} ∀n ≥ 2 ” ⊆ ” Aus |S_{n}/A_{n}| = 2 ∀n ≥ 2 folgt, daß die Faktorgruppe S_{n}/A_{n} immer zyklisch und insbesondere abelsch ist. Dann folgt nach 11.6.2, daß K(S_{n}) ⊆ A_{n} gilt. ” ⊇ ” Da jedes Element aus A_{n} mit n ≥ 3 ein endliches Produkt von Dreierzykeln aus S_{n} ist, macht man eine Fallunterscheidung und zeigt die Behauptung erst für n = 2 und dann für n ≥ 3 allgemein.

i) n = 2: S_{2} besteht aus zwei Elementen: {e, a}, mit a = a^{−1}. Somit wird die Kommutatorgruppe von S_{2} von dem neutralen Element erzeugt und es gilt: K(S_{2}) = {e} = A_{2} ii) n ≥ 3: Es gilt für alle paarweise verschiedenen i, j, k ∈ {1, 2, ..., n} :

(i, j, k) = (i, k, j)^{2} = (i, k, j)(i, k, j) = (i, k)(k, j)(i, k)(k, j), da jede Permutation π ∈ S_{n} darstellbar ist als Hintereinanderausführung von Transpositionen. Jede Transposition ist gleich ihrem Inversen, darum gilt: (i, k)(k, j)(i, k)(k, j) = (i, k)(k, j)(i, k)^{−1}(k, j)^{−1} = [(i, k), (k, j)]. Damit liegen alle Dreierzykeln in K(S_{n}) und es gilt: A_{n} ⊆ K(S_{n})

2) K(A_{n}) = A_{n} ∀n ≥ 5 Seien nun i, j, k, l, m ∈ {1, ..., n} paarweise verschieden, dann gilt: (i, j, k) = (i, k)(k, j)(i, k)(k, j) = (i, k)(l, m)(k, j)(l, m)(i, k)(l, m)(k, j)(l, m) =: ⋆, da jede Transposition gleich ihrem Inversen ist und disjunkte Zykeln vertauschbar sind. Weiter gilt: ⋆ = [(i, k)(l, m), (l, m)(k, j)] ∈ K(A_{n}) ⇒ A_{n} ⊆ K(A_{n}) und da trivialerweise auch K(A_{n}) ⊆ A_{n} gilt, ist K(A_{n}) = A_{n}

11.8 Definition Sei n ∈ ℕ. Die n-te Ableitung K^{n}(G) einer Gruppe G ist rekursiv definiert durch K^{0}(G) := G und K^{n}(G) := K(K^{n−1}(G)) für n ≥ 1 (Bezeichnung K^{n}(G) =: G^{(n)})

11.9 Bemerkung Mit diesem Verfahren erhält man eine absteigende Kette von Untergruppen von G: K^{0}(G) = G ⊃ K^{1}(G) ⊃ K^{2}(G) ⊃ ... ⊃ K^{n}(G). Wegen (11.6) ist K^{i+1}(G) ⊴ K^{i} und die Gruppe K^{i}(G)/K^{i+1}(G) ist abelsch für alle i ≤ n, n ∈ ℕ.

11.10 Satz Für eine Gruppe G sind folgende Aussagen äquivalent:

1) G ist auflösbar

2) Es gibt ein n ∈ ℕ mit K^{n}(G) = {e}.

Beweis:

1) ⇒ 2) Sei G auflösbar, das heißt es existert eine Normalreihe mit abelschen Faktoren: G = G_{0} ⊃ G_{1} ⊃ ... ⊃ G_{n} = {e} mit G_{i+1} ⊴ G_{i} und G_{i}/G_{i+1} ist abelsch. Es genügt also zu zeigen: K^{m}(G) ⊆ G_{m}∀m ∈ ℕ durch vollständige Induktion. \underline{Ind.-Anfang}: m = 0 K^{0}(G) = G ⊆ G = G_{0} ist trivial \underline{Ind.-Voraussetzung}: Es gelte für m ∈ ℕ: K^{m}(G) ⊆ G_{m} \underline{Ind.-Schritt}: m → m + 1 Da G_{m}/G_{m+1} abelsch ist, folgt nach 11.6: K(G_{m}) ⊆ G_{m+1} und nach Ind.-Voraussetzung gilt K^{m}(G) ⊆ G_{m} ⇒ K^{m+1}(G) = K(K^{m}(G)) ⊆ K(G_{m}) ⊆ G_{m+1}. Folglich ist K^{n}(G) ⊆ G_{n} = {e}.

2) ⇒ 1) K^{0}(G) = G_{0} ⊇ K^{1}(G) ⊇ ... ⊇ K^{n}(G) = {e} ist nach 11.9 eine Normalreihe mit abelschen Faktoren in G und damit ist G auflösbar.

□

11.11 Satz Die symmetrischen Gruppen S_{n} (n ∈ ℕ) sind für n ≤ 4 auflösbar und für n ≥ 5 nicht auflösbar.

Beweis: I) S_{1} und S_{2} sind zyklisch, also insbesondere abelsch und damit nach 11.3.1 auflösbar. S_{3} ist ebenfalls nach 11.3 auflösbar. Sei nun n = 4: S_{4} ⊇ A_{4} ⊇ V ⊇ {id} ist eine Normalreihe in S_{4} (V ist hier die Kleinsche Vierergruppe). Es bleibt also zu zeigen, daß die Faktoren abelsch sind, um daraus die Auflösbarkeit von S_{4} zu folgern. 1.Faktor: |S_{4}/A_{4}| = 2 ⇒ S_{4}/A_{4} ist zyklisch ⇒ abelsch 2.Faktor: |A_{4}/V | = 3 ⇒ A_{4}/V ist zyklisch ⇒ abelsch 3.Faktor: |V/{id}| = 4 ⇒ V/{id} abelsch.

II) Sei n ≥ 5. Nach 11.7 ist K(S_{n}) = A_{n} aber K^{t}(A_{n}) = A_{n} ∀ t ≥ 2. Das heißt, alle Kommutatorgruppen von S_{n} sind von der trivialen Gruppe {id} verschieden und daraus folgt: S_{n} ist für n ≥ 5 nicht auflösbar.

□ Der folgende Satz ist von großer Bedeutung, weil dieser eine wesentliche Rolle im

Beweis von Satz10.13 (Algebra Vorlesung) spielt.

11.12 Satz Eine endliche Gruppe G ist genau dann auflösbar, wenn es in G eine Normalreihe mit zyklischen Faktoren gibt.

Beweis: ” ⇐ ” Es existiert in G eine Normalreihe mit zyklischen Faktoren. Diese sind insbesondere abelsch und damit ist G auflösbar.

” ⇒ ” Sei G auflösbar. ⇒ es existiert eine Normalreihe G_{0}, ..., G_{i}, G_{i+1}, ...G_{n} mit G_{i+1} ⊴ G_{i}, G_{i}/G_{i+1} ist abelsch und G_{n} = {e}. Sei U := G_{i}, V := G_{i+1} und ν : U → U/V der natürliche Homomorphismus. Sei a ∈ U/V vom neutralen Element verschieden, dann ist < a > die von a erzeugte zyklische Untergruppe von U/V. Da U/V abelsch ist und jede Untergruppe einer abelschen Gruppe auch Normalteiler ist, gilt: < a > ⊴ U/V. Definiere ν^{−1}(< a >) =: N, dann gilt: N ⊴U, weil das Urbild eines Normalteilers wieder ein Normalteiler ist. Betrachte folgende Einschränkung von ν: ν′ : N →< a > mit ν′(x) = xV ∀x ∈ N. Dann gilt: ker(ν′) = N ∩ ker(ν) = N ∩ V. Außerdem gilt: V = ker(ν) = ν^{−1}({e}) ⊂ ν^{−1}(< a >) = N. Das bedeutet, V ist eine echte Teilmenge von N und es gilt: ker(ν′) = N ∩ V = V. Nun existiert nach dem Homomorphiesatz für Gruppen der durch ν′ induzierte Gruppenhomomorphismus f : N/ ker(ν′) →< a >. f ist injektiv. Falls ν′ surjektiv ist, gilt zusätzlich: N/V ≅< a >.

Also ist noch zu zeigen, daß es zu einem beliebigen y ∈< a > ein z ∈ N existiert, für das gilt: ν′(z) = y. Sei y = zV ∈< a >und ν(z) = zV ∈< a > ⇒ z ∈ ν^{−1}(< a >) = N ⇒ z ∈ N ⇒ ν′(z) = zV = y.

Bis zu diesem Punkt kann man zusammenfassen, daß man ein N gefunden hat, für welches gilt: V ⊴ N ⊴ U mit zyklischem Faktor N/V. Das heißt, die Normalreihe wurde zwischen zwei beliebigen Elementen U und V erweitert, durch ein Element N, sodaß der Faktor N/V zyklisch ist. Da das Ziel aber eine Normalreihe ist, in der jeder Faktor zyklisch ist, benutzt man hier den zweiten Isomorphiesatz: U/N ≅ (U/V)/(N/V). Da U/V abelsch ist, ist U/N auch abelsch, und man kann die gesamte Konstruktion mit N statt V wiederholen. G ist nach Voraussetzung endlich, so daß dieses Verfahren abbricht. Man erhält also Untergruppen N_{1}, .., N_{r} von G mit

V ⊴ N_{1} ⊴ ... ⊴ N_{r} ⊴ U

und zyklischen Faktoren N_{1}/V, N_{2}/N_{1}, ..., U/N_{r}. Daraus folgt, daß in jeder endlichen Gruppe G eine Normalreihe mit zyklischen Faktoren existiert.

□

11.13 Beispiel Die symmetrische Gruppe S_{4} ist endlich und nach Satz 11.11 auflösbar. Wie man im Beweis sehen konnte, existiert folgende Normalreihe: S_{4} ⊇ A_{4} ⊇ V ⊇ {id} mit zwei zyklischen Faktoren: S_{4}/A_{4}, A_{4}/V und einem abelschen Faktor V/{id}. V ist die kleinsche Vierergruppe und besteht aus drei Elementen der Ordnung zwei und dem neutralen Element: {id}. Sei a ∈ V mit a ≠ {id}, dann kann man die Normalreihe mit der von a erzeugten Untergruppe < a > erweitern:

S_{4} ⊇ A_{4} ⊇ V ⊇< a >⊇ {id}

< a > ist ein Normalteiler von V, da V abelsch ist und die Faktoren V/ < a > und < a > /{id} sind zyklisch, weil deren Ordnung eine Primzahl ist. Somit sind alle Faktoren aus S_{4} ⊇ A_{4} ⊇ V ⊇< a >⊇ {id} zyklisch.

11.14 Satz Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:

1) φ(K(U)) = K(φ(U)) für U ≤ G.

2) φ(K^{n}(G)) ⊆ K^{n}(H) ∀n ∈ ℕ \ {0}.

3) φ(K^{n}(G)) = K^{n}(H) ∀n ∈ ℕ \ {0}, falls φ surjektiv.

Beweis:

1) ” ⊆ ” Sei φ([u, v]) mit u,v ∈ U ein erzeugendes Element von φ(K(U)).Dann folgt: φ([u, v]) = φ(uvu^{−1}v^{−1}) = φ(u)φ(v)φ(u^{−1})φ(v^{−1}) = φ(u)φ(v)φ(u)^{−1}φ(v)^{−1} = [φ(u), φ(v)] ∈ K(φ(U)), d.h. φ(K(U)) ⊆ K(φ(U)). ” ⊇ ” Sei [φ(u), φ(v)] ein erzeugendes Element von K(φ(U)). Dann folgt: [φ(u), φ(v)] = φ(u)φ(v)φ(u)^{−1}φ(v)^{−1} = φ(u)φ(v)φ(u^{−1})φ(v^{−1}) = φ(uvu^{−1}v^{−1}) = φ([u, v]) ∈ φ(K(U)), d.h. φ(K(U)) ⊇ K(φ(U))

2) Beweis durch vollständige Induktion \underline{Ind.-Anfang}: n = 1 φ(K(G)) = K(φ(G)) ⊆ K(H) ist klar \underline{Ind.-Voraussetzung}: Die Behauptung gelte für n ∈ ℕ, also φ(K^{n}(G)) ⊆ K^{n}(H) \underline{Ind.-Schritt}: n → n+1 φ(K^{n+1}(G)) = φ(K(K^{n}(G))) ⊆ K(φ(K^{n}(G))) ⊆ K(K^{n}(H)) = K^{n+1}(H)

3) Beweis durch vollständige Induktion. Sei φ surjektiv: \underline{Ind.-Anfang}: n = 1 φ(K(G)) = K(H) ist klar. \underline{Ind.-Voraussetzung}: Die Behauptung gelte für n ∈ ℕ, also φ(K^{n}(G)) = K^{n}(H) \underline{Ind.-Schritt}: n → n+1 φ(K^{n+1}(G)) = φ(K(K^{n}(G))) = K(φ(K^{n}(G))) = K(K^{n}(H)) = K^{n+1}(H)

□

11.15 Satz

1) Jede Untergruppe einer auflösbaren Gruppe ist auflösbar.

2) Jede Faktorgruppe einer auflösbaren Gruppe ist auflösbar.

3) Jedes endliche Produkt von auflösbaren Gruppen ist auflösbar.

Beweis:

1) Sei U ≤ G und i : U → G die Inklusionsabbildung. Nach 11.14 (2) gilt:

K^{n}(U) = i(K^{n}(U)) ⊆ K^{n}(G) ∀n ∈ ℕ \ {0}

Da G auflösbar ist, gilt für ein festes m ∈ ℕ : K^{m}(G) = {e} und damit ist auch K^{m}(U) = {e}, das heißt U ist auflösbar.

2) Sei N ⊴ G und ν : G → G/N der natürliche Homomorphismus. Mit K^{m}(G) = {e} für ein festes m ∈ ℕ gilt auch K^{m}(G/N) = {e}, denn nach 11.14 (3) gilt: N = ν({e}) = ν(K^{m}(G)) = K^{m}(G/N)

3) Zu zeigen: Wenn K^{m}(G × H) = {e}, ist auch K^{m}(G) × K^{m}(H) = {e}. Darum genügt es zu zeigen: K^{n}(G × H) = K^{n}(G) × K^{n}(H) Beweis durch vollständige Induktion: Seien a, b ∈ G und c, d ∈ H.

\underline{Ind.-Anfang}: n = 1 K(G×H) = ⟨[(a, c), (b, d)]⟩ = ⟨(a, c)(b, d)(a, c)^{−1}(b, d)^{−1}⟩ = ⟨(a, c)(b, d)(a^{−1}, c^{−1})(b^{−1}, d^{−1})⟩ = ⟨(aba^{−1}b^{−1}, cdc^{−1}d^{−1})⟩ = ⟨([a, b], [c, d])⟩ = K(G) × K(H)

\underline{Ind.-Voraussetzung}: Die Behauptung gelte für n ∈ ℕ, also K^{n}(G×H) = K^{n}(G)×K^{n}(H).

\underline{Ind.-Schritt}: n → n + 1 K^{n+1}(G × H) = K(K^{n}(G × H)) = K(K^{n}(G) × K^{n}(H)) = K(K^{n}(G)) × K(K^{n}(H)) = K^{n+1}(G) × K^{n+1}(H)

□

11.16 Satz

1) (Satz von Burnside) Alle Gruppen der Ordnung p^{a}q^{b} (p, q ∈ ℙ, p ≠ q, a, b ∈ ℕ) sind auflösbar.

2) (Satz von Feit-Thompson) Alle endlichen Gruppen ungerader Ordnung sind auflösbar.

11.17 Bemerkung Der Satz von Feit-Thompson wurde bereits um die Jahrhundertwende von Burnside vermutet. Ein Beweis wurde jedoch erst im Jahre 1963 von den Amerikanern W. Feit und J. Thompson gefunden. Der Originalbeweis ist mit allen Hilfssätzen 274 Seiten lang.

Aus dem dritten Vortrag dieses Seminars wissen wir, daß die Galoisgruppe eines Polynoms f ∈ ℚ[T] isomorph ist zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_{r}, wobei r die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von f ist. Zudem ist bekannt, daß ein solches Polynom f ∈ ℚ[T] genau dann durch Radikale auflösbarer ist, wenn dessen Galoisgruppe auflösbar ist (siehe Einleitung). Daraus ergibt sich direkt folgender Satz:

11.18 Satz Jedes Polynom f ∈ ℚ[T] vom Grade ≤ 4 ist durch Radikale auflösbar.

Beweis: Sei r ≤ 4 die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von f ∈ ℚ[T], Z := ℚ(α_{1}, α_{2}, ..., α_{r}) der Zerfällungskörper von f (Z = ZF K_{ℚ}(f)) und G := Gal_{ℚ}(f). Dann gilt: G ≅ U mit U ≤ S_{r}. Nach Satz 11.11 ist S_{r} für r ≤ 4 auflösbar. ⇒ nach Satz 11.14 ist auch jede Untergruppe von S_{r} auflösbar. ⇒ G ist auflösbar, weil G zu einer dieser Untergruppen isomorph ist. ⇒ das Polynom f ist durch Radikale auflösbar.

□

11.19 Bemerkung Man kann zeigen, daß es zu jedem n ∈ ℕ ein irreduzibles Polynom f_{n} ∈ ℚ[T] vom Grade n gibt, mit Gal_{ℚ}(f_{n}) ≅ S_{n}. Da S_{n} für n ≥ 5 \underline{nicht} auflösbar ist, gibt es also zu jedem n ≥ 5 ein irreduzibles Polynom über ℚ vom Grade n, das \underline{nicht} durch Radikale auflösbar ist. Folglich kann es keine allgemeingültigen Lösungsformeln für die Nullstellen von Polynomen vom Grade ≥ 5 geben.

12. Die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks  Johann Wedel

12 Die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks

1796 gelang Gauß die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks. Mit dieser erstaunlichen Entdeckung wollen wir uns nun näher beschäftigen. Dabei müssen wir von ℚ über die Zwischenkörper zu dem Kreisteilungskörper L = ℚ(α) mit α = e^{\frac{2πi}{17}} aufsteigen. Als Grundlage werden die Seiten 223 bis 225 aus [?] benutzt.

12.1 Bemerkung Die konstruierbaren Zahlen bilden einen Zwischenkörper von ℂ : ℚ. Quadratwurzeln von konstruierbaren Zahlen sind wieder konstruierbar.

Unser Ziel wird sein, dass wir einen Zwischenkörperverband ℚ = K_{0} ⊆ K_{1} ⊆ K_{2} ⊆ ... ⊆ K_{m} ⊆ ℂ aufbauen, wobei [K_{j} : Kj − 1] ≤ 2 ist ∀ j = 1, 2, ..., m mit z_{1} := α + α^{16} ∈ K^{m}. Nach der Algebra-Vorlesung haben wir dann nachgewiesen, dass in unserem Fall z_{1} = α + α^{16} konstruierbar ist. Mit der Formel α^{k} − α^{17−k} = 2 cos(\frac{2πk}{17}) erhalten wir z_{1} = α + α^{16} = 2 cos(\frac{2π}{17} ). Es gilt \frac{z_{1}}{2} = α = cos(\frac{2π}{17} ), da α^{16} = α^{−1} und Re α =Re α^{16} = cos(\frac{2π}{17} ). Somit ist auch α konstruierbar, wobei α ein Eckpunkt des regelmäßigen 17-Ecks ist.

Sei α := e^{\frac{2πi}{17}} ∈ ℂ, L:= ℚ(α), G := Gal(L : ℚ). Dann ist f := T^{16}+T^{15}+...+T +1 ∈ ℚ[T] das Minimalpolynom von α/ℚ mit NULL_{L:Q}(f) = {α, α^{2}, ..., α^{16}}. G besteht daher aus 16 ℚ-Automorphismen σ_{1}, σ_{2}, ..., σ_{16}, die durch ihre Werte für α eindeutig festgelegt sind. Wir definieren ein σ ∈ G mit σ(α) = α^{3}, wobei im Exponenten eine primitive Kongruenzwurzel modulo 17 steht. Dabei gilt modulo 17:

\begin{matrix}m & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ 3^{m} mod 17 & 1 & 3 & 9 & 10 & 13 & 5 & 15 & 11 & 16 & 14 & 8 & 7 & 4 & 12 & 2 & 6 & 1 \end{matrix}

Mit σ^{m}(α) = α^{3^{m} mod 17} erhalten wir:

\begin{matrix}τ & τ(α) & ord(τ) \\ ε = σ^{16} & α & 1 \\ σ & α^{3} & 16 \\ σ^{2} & α^{9} & 8 \\ σ^{3} & α^{10} & 16 \\ σ^{4} & α^{13} & 4 \\ σ^{5} & α^{5} & 16 \\ σ^{6} & α^{15} & 8 \\ σ^{7} & α^{11} & 16 \end{matrix} \begin{matrix}τ & τ(α) & ord(τ) \\ σ^{8} & α^{16} & 2 \\ σ^{9} & α^{14} & 16 \\ σ^{10} & α^{8} & 8 \\ σ^{11} & α^{7} & 16 \\ σ^{12} & α^{4} & 4 \\ σ^{13} & α^{12} & 16 \\ σ^{14} & α^{2} & 8 \\ σ^{15} & α^{6} & 16 \end{matrix}

Damit wird die Gruppe G ≅ (ℤ_{17})^{∗} von σ erzeugt und es gilt G = {ε, σ, σ^{2}, ..., σ^{15}}. Um die Zwischenkörper von G zu erhalten, müssen zunächst die Untergruppen von G bestimmt werden. Da G zyklisch, gibt es zu jedem Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe. |G| = 16. Nach Lagrange folgt, dass |U| ∈ {1, 2, 4, 8, 16} . Die Untergruppen von G sind U_{1} = {ε} =< ε >, U := U_{2} = {ε, σ^{8}} =< σ^{8} >, V := U_{4} = {ε, σ^{8}, σ^{4}, σ^{12}} =< σ^{12} >, W := U_{8} = {ε, σ^{8}, σ^{4}, σ^{12}, σ^{2}, σ^{6}, σ^{10}, σ^{14}} =< σ^{14} >, U_{16} = G. Wir erhalten den Untergruppenverband

U_{1} ⊂ U ⊂ V ⊂ W ⊂ U_{16}.

Da L : ℚ nach Bemerkung 5.3 (5. Vortrag) eine Galois-Erweiterung ist, gehört hierzu der Zwischenkörperverband

L = L^{<ε>} ⊃ L^{W} ⊃ L^{V} ⊃ L^{U} ⊃ L^{G} = ℚ.

Nun wollen wir uns Schritt für Schritt von ℚ nach L hocharbeiten. Benötigt wird dazu nach Algebra-Vorlesung eine Basis von ℚ(α) über ℚ. Sei etwa {α, α^{2}, ..., α^{16}} die gewählte Basis von ℚ(α) über ℚ. Jetzt wollen wir den Zwischenkörper L^{W} bestimmen.

Uns ist die Spur-Abbildung von U aus der Algebra-Vorlesung bekannt, wobei U eine endliche Untergruppe der Gruppe (Aut(L), ∘) aller Körperhomomorphismen von L ist. Die Abbildung sp_{U} : L ⟶ L ist definiert durch sp_{U}(α) := ∑_{σ∈U} σ(α) ∀α ∈ L. Es gilt nach Algebra-Vorlesung:

L^{W} = ℚ(sp_{W} (α), sp_{W} (α^{2}), ..., sp_{W} (α^{16}))

sp_{W} (α) = ε(α) + σ^{8}(α) + σ^{4}(α) + σ^{12}(α) + σ^{2}(α) + σ^{6}(α) + σ^{10}(α) + σ^{14}(α) = α + α^{9} + α^{13} + α^{15} + α^{16} + α^{8} + α^{4} + α^{2}

sp_{W} (α^{2}) = ε(α^{2})+σ^{8}(α^{2})+σ^{4}(α^{2})+σ^{12}(α^{2})+σ^{2}(α^{2})+σ^{6}(α^{2})+σ^{10}(α^{2})+σ^{14}(α^{2}) = α^{2} + α + α^{9} + α^{13} + α^{15} + α^{16} + α^{8} + α^{4}

sp_{W} (α^{3}) = ε(α^{3})+σ^{8}(α^{3})+σ^{4}(α^{3})+σ^{12}(α^{3})+σ^{2}(α^{3})+σ^{6}(α^{3})+σ^{10}(α^{3})+σ^{14}(α^{3}) = α^{3} + α^{10} + α^{5} + α^{11} + α^{14} + α^{7} + α^{12} + α^{6}

Durch weiteres Nachrechnen erhalten wir, dass sp_{W} (α^{i}) für i = 1, ..., 16 nur aus den beiden voneinader verschiedenen Elementen x_{1} := sp_{W} (α) und x_{2} := sp_{W} (α^{3}) bestehen. Dabei gilt

x_{1} = α + α^{9} + α^{13} + α^{15} + α^{16} + α^{8} + α^{4} + α^{2}

x_{2} = α^{3} + α^{10} + α^{5} + α^{11} + α^{14} + α^{7} + α^{12} + α^{6}

Es gilt ℚ(x_{1}, x_{2}) ⊇ ℚ(x_{1}) ⊇ ℚ. Da [ℚ(x_{1}, x_{2}) : ℚ] = 2 und [ℚ(x_{1}) : ℚ] = 2, folgt nach dem Gradsatz [ℚ(x_{1}, x_{2}) : ℚ(x_{1})] = 1. Somit ist L^{W} = ℚ(x_{1}, x_{2}) = ℚ(x_{1}). x_{1} hat unter den Automorphismen von G nur die Bilder x_{1} und x_{2}. Nach Lemma 2.14 (2. Vortrag) ist dann (T − x_{1})(T − x_{2}) das Minimalpolynom von x_{1}/ℚ. Durch leichtes Nachrechnen erhalten wir x_{1} +x_{2} = −1 und x_{1}x_{2} = −4. Daraus ergibt sich das Polynom

(T − x_{1})(T − x_{2}) = T^{2} − (x_{1} + x_{2})T + x_{1}x_{2} = T^{2} + T − 4

Dabei verwende man, dass x_{1} = 2(cos(ϕ) + cos(2ϕ) + cos(4ϕ) + cos(8ϕ)), x_{2} = 2(cos(3ϕ) + cos(5ϕ) + cos(7ϕ) + cos(6ϕ)) ist, mit ϕ := \frac{2π}{17} .

Die Nullstellen x_{1} = \frac{1}{2}(\sqrt{17} − 1) und x_{2} = −\frac{1}{2}(\sqrt{17} + 1) des Polynoms T^{2} + T − 4 sind also nach Bemerkung 12.1 mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Als nächstes betrachten wir den Körper L^{V}, der über ℚ den Grad 4 hat, da [L^{V} : ℚ] = \frac{|ℚ|}{|V |} = \frac{16}{4} = 4. Es gilt nach der Algebra-Vorlesung:

L^{V} = ℚ(sp_{V} (α), sp_{V} (α^{2}), ..., sp_{V} (α^{16}))

Ausgeschrieben haben die sp_{V} (α^{i}) für i = 1, ..., 16 folgende Gestalt

y_{1} = α + α^{13} + α^{16} + α^{4}
y_{2} = α^{2} + α^{9} + α^{15} + α^{8}
y_{3} = α^{3} + α^{5} + α^{14} + α^{12}
y_{4} = α^{6} + α^{10} + α^{11} + α^{7}

Nach Lemma 2.14 (2. Vortrag) erhalten wir das Polynom

(T − y_{1})(T − y_{2})(T − y_{3})(T − y_{4}).

Damit ist [y_{1} : ℚ] = [L^{V} : ℚ] = 4, da das Minimalpolynom den Grad 4 hat. y_{1} erzeugt L^{V} über ℚ, also auch über L^{W}. Somit erhalten wir L^{V} = L^{W} (y_{1}). Es ergibt sich das Minimalpolynom von y_{1}/L^{W}

(T − y_{1})(T − y_{2}) bzw. (T − y_{3})(T − y_{4}).

Durch Nachrechnen erhalten wir y_{1} + y_{2} = x_{1}, y_{1}y_{2} = x_{1} + x_{2} = −1, y_{1} + y_{1} = x_{2} und y_{3}y_{4} = −1. Daraus folgt

(T − y_{1})(T − y_{2}) = T^{2} − (y_{1} + y_{2})T + y_{1}y_{2} = T^{2} − x_{1}T − 1

(T − y_{3})(T − y_{4}) = T^{2} − (y_{3} + y_{4})T + y_{3}y_{4} = T^{2} − x_{2}T − 1.

Die Nullstellen

y_{1} = \frac{x_{1}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{x_{1}^{2} + 4}, y_{2} = \frac{x_{1}}{2} − \frac{1}{2} \sqrt{x_{1}^{2} + 4},

y_{3} = \frac{x_{2}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{x_{2}^{2} + 4} und y_{4} = \frac{x_{2}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{x_{2}^{2} + 4}

sind also nach 12.1 mit Zirkel und Lineal kostruierbar.

Nun sind ℚ, L^{W} , L^{V} bekannt. Als nächstes betrachten wir den Körper L^{U}. Da die Vorgehensweise analog zu der Berechnung des Zwischenkörpers L^{V} verläuft, werden wir uns nun kürzer fassen. Die sp_{U}(α^{i}) für i = 1, ...16 haben folgende Gestalt

z_{1} = α + α^{16}, z_{2} = α^{2} + α^{15}

z_{3} = α^{3} + α^{14} , z_{4} = α^{4} + α^{13}

z_{5} = α^{5} + α^{13}, z_{6} = α^{6} + α^{11}

z_{7} = α^{7} + α^{10}, z_{8} = α^{8} + α^{9}

Da das Minimalpolynom von z_{1} über ℚ den Grad 8 hat und das Minimalpolynom von z_{1} über ℚ(x_{1}, y_{1}) den Grad 2, haben alle diese Elemente den Grad 8 über ℚ und den Grad 2 über ℚ(x_{1}, y_{1}). L^{U} wird von z_{1} über ℚ erzeugt, also auch über L^{V}. Damit ist L^{U} = L^{V} (z_{1}). Das Minimalpolynom von z_{1}/L^{V} ist nach (2.14)

(T − z_{1})(T − z_{4}) = T^{2} − (z_{1} + z_{4})T + z_{1}z_{4} = T^{2} − y_{1}T + y_{3}

Die Nullstellen

z_{1} = \frac{y_{1}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{y_{1}^{2} − 4y_{3}} und z_{4} = \frac{y_{1}}{2} − \frac{1}{2} \sqrt{y_{1}^{2} − 4y_{3}}

sind also nach 12.1 auch mit Zirkel und Lineal kostruierbar.

Das regelmäßige 17-Eck kann nun konstruiert werden, da z_{1} = α + α^{16} = 2 cos(\frac{2π}{17} ) konstruierbar ist. Es ergibt sich die folgende Konstruktion.

Die Grundfigur besteht aus zwei orthogonalen Geraden und einem Kreis um den Punkt O mit Radius \overline{OA} = \overline{OB}. Der Punkt O ist der Ausgangspunkt der Konstruktion.

Wir konstruieren zunächst den Wert \sqrt{17}. Dazu vierteln wir die Strecke \overline{OA} und erhalten den Punkt C. Die Länge der Strecke \overline{BC} entspricht somit dem Wert \frac{1}{4} \sqrt{17}. Nun schlagen wir einen Kreis um den Punkt C mit dem Radius \overline{BC} und erhalten die Punkte D und E. Wir erhalten die Längen der Strecken \overline{OD} bzw. \overline{OE}

\frac{1}{4} \sqrt{17} − \frac{1}{4} = \frac{x_{1}}{2} bzw. \frac{1}{4} \sqrt{17} + \frac{1}{4} = −\frac{x_{2}}{2} .

Nun schlagen wir einen Kreis um D mit dem Radius \overline{BD} und erhalten den Punkt F und die Länge der Strecke \overline{OF} = \overline{OD} + \overline{DF}

\frac{x_{1}}{2} + \sqrt{(\frac{x_{1}}{2} )^{2} + 1} = y_{1}.

Analog schlagen wir einen Kreis um E mit den Radius \overline{BE} und erhalten den Punkt G und die Länge der Strecke \overline{OG} = \overline{EG} + \overline{EO}

\sqrt{(\frac{x_{2}}{2} )^{2} + 1} − (−\frac{x_{1}}{2} ) = y_{3}.

Jetzt halbieren wir die Strecke \overline{OF} und erhalten den Punkt H. Dann errichten wir über \overline{AG} den Thaleskreis und erhalten den Punkt J. Zuletzt schlagen wir einen Kreis um J mit dem Radius \overline{OH} und erhalten den Punkt K. Somit erhalten wir die Länge der Strecke \overline{HK} = \overline{HO} + \overline{OK}

z_{1} = \frac{y_{1}}{2} + \sqrt{(\frac{y_{1}}{2} )^{2} − y_{3}} = α + α^{16} = 2 cos(\frac{2π}{17} ).

Zum Schluss werden wir schließen, dass

16 cos(ϕ) = \sqrt{17} + 2\sqrt{(\frac{\sqrt{17}}{2} − \frac{1}{2})^{2} + 4}

+4\sqrt{\sqrt{17} − 2\sqrt{(−\frac{\sqrt{17}}{2} − \frac{1}{2})^{2} + 4} + (\frac{\sqrt{17}}{4} + ^{\frac{\sqrt{( \frac{\sqrt{17}}{2} − \frac{1}{2} )^{2}+4}}{2}} − \frac{1}{4})2 + 1}−1 := ξ

Benutzt wird dazu Maple. Also:

x_{1} = \frac{\sqrt{17}}{2} − \frac{1}{2}, x_{2} = −\frac{\sqrt{17}}{2} − \frac{1}{2}

⟹ y_{1} = \frac{\sqrt{17}}{4} + ^{\frac{\sqrt{( \frac{\sqrt{17}}{2} − \frac{1}{2} )^{2}+4}}{2}} − \frac{1}{4}, y_{3} = ^{\frac{\sqrt{( \frac{\sqrt{17}}{2} − \frac{1}{2} )^{2}+4}}{2}} − \frac{\sqrt{17}}{4} − \frac{1}{4}

⟹ 8z_{1} = ξ = 16 cos(ϕ)

Damit ist gezeigt, dass 16 cos(ϕ) durch Wurzelziehen und rationale Rechenoperationen erreichbar ist. Dann gilt dasselbe für \frac{16 cos(ϕ)}{16} = cos(ϕ), also ist α konstruierbar.

13. Das Umkehrproblem der Galoistheorie  Dennis Amelunxen

13 Das Umkehrproblem der Galoistheorie

Dieser Vortrag beschäftigt sich mit folgender bis heute ungelösten Frage: Gibt es zu einer beliebigen endlichen Gruppe G immer auch eine Körpererweiterung L : ℚ, so dass die Galois-Gruppe von L über ℚ isomorph zu G ist? Diese Frage ist der Kernpunkt des sogenannten inversen Galois-Problems, welches sich ganz natürlich aus den Anfängen der Galois-Theorie ergab, wo gezeigt wurde, dass sich einem beliebigen Polynom immer eine eindeutig bestimmte Gruppe zuordnen lässt. Die Frage wird sich als positiv zu beantworten herausstellen, falls G abelsch ist. Als weiteres Ergebnis wird gezeigt, dass auch für die symmetrische Gruppe S_{n} geeignete Polynome konstruiert werdenen können. Außerdem wird eine kleine historische Übersicht über die Entwicklung der Untersuchungen bezüglich des Inversen Galois-Problems gegeben, einige Ergebnisse vorgestellt und versucht, den derzeitigen ”Stand der Dinge“ zu skizzieren. Doch zunächst sei noch ein einfaches Ergebnis erwähnt, das klar macht, dass die Forderung ”ℚ ist Grundkörper der gesuchten Galois-Erweiterung“ die eigentliche Schwierigkeit der Frage ausmacht (ℚ ist ja Primkörper):

13.1 Satz Sei G eine beliebige endliche Gruppe. Dann gibt es Körper L und K mit ℚ ⊆ K ⊆ L ⊆ ℂ, so dass gilt: Gal_{K}(L) ≅ G.

Beweis: Bekanntermaßen ist G isomorph zu einer Untergruppe U ≤ S_{n} (falls |G| = n). Im Laufe des Vortrags wird gezeigt, dass S_{n} als Galoisgruppe geeigneter Polynome über ℚ realisiert werden kann. Sei also f so ein Polynom (also Gal_{ℚ} (f) = S_{n}) und L := ZF K_{ℚ} (f) der Zerfällungskörper von f über ℚ. Definiere nun: K := L^{U} der Fixkörper von L unter U. Nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie gilt nun: G ≅ U ≅ Gal_{K}(L).

□

Zunächst also die Untersuchung für abelsche Gruppen (mit einigen vorbereitenden (bekannten) Sätzen):

13.2 Satz (Chin. Restsatz) Seien n_{1}, …, n_{t} ∈ ℕ mit ggT (n_{i}, n_{j}) = 1 für i ≠ j, und n := ∏_{i=1}^{t} n_{i}. Dann ist

σ : ℤ → ∏_{i=1}^{t} ℤ_{n_{i}} mit σ(x) = ([x]_{n_{1}}, [x]_{n_{2}}, …, [x]_{n_{t}})

ein Ringhomomorphismus mit Kern(σ) = n · ℤ . Mit anderen Worten:

ℤ_{n} ≅ ∏_{i=1}^{t} ℤ_{n_{i}}

Beweis: siehe Vorlesung “Grundzüge der Algebra“ WS2002/2003 §8.1/8.2/8.3 (dort nur für Gruppen gezeigt, aber Übertragung auf Ringe klar (argumentiert wurde mithilfe des Gruppenhomomorphiesatzes, der in analoger Form auch für Ringe gilt (Übertragung auf Ringe mit ”demselben“ Homomorphismus)

□

13.3 Satz (Dirichlet) Seien a, m ∈ ℕ mit ggT (a, m) = 1 und A(a, m) := {a + k · m | k ∈ ℕ_{0}} (arithmetische Folge). Dann gilt: A(a, m) enthält unendlich viele Primzahlen.

13.4 Folgerung Für beliebiges m ∈ ℕ enthält die arithmetische Folge A(1, m) unendlich viele Primzahlen.

Im weiteren wird nur die Folgerung aus dem Satz von Dirichlet gebraucht. Da jedoch selbst dieser Spezialfall einen sehr aufwendigen (und für unsere Zwecke nicht sehr erkenntnisreichen, da hauptsächlich zahlentheoretischen) Beweis bräuchte, wird darauf verzichtet.

Zur Erinnerung sei nun noch einmal ein wichtiges Ergebnis aus der Gruppentheorie erwähnt, das im Folgenden gebraucht wird:

13.5 Satz (Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen) Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann gilt: G ist isomorph zu einem direkten Produkt zyklischer Untergruppen von G (mit Primzahlpotenzordnung).

Der nächste Satz führt uns einen ersten Schritt in Richtung Kreisteilungskörper (dessen Galois-Gruppe ja nach (5.13) (ℤ_{n})^{∗} ist). Er besagt, dass man jede endliche abelsche Gruppe als Untergruppe von (ℤ_{n})^{∗} für ein geeignetes n wiederfindet.

13.6 Satz Sei A eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung m. Dann existiert ein n ∈ ℕ mit A ≅ U ≤ (ℤ_{n})^{∗}.

Beweis: Aus dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen schließen wir zunächst: es existieren C_{1}, … C_{t} ≤ A, mit C_{i} zyklisch ∀i und A ≅ ∏_{i=1}^{t} C_{i}. Setze: m_{i} := |C_{i}|. (Dann gilt: m = |A| = ∏_{i=1}^{t} |C_{i}| = ∏_{i=1}^{t} m_{i}). Nach der o.g. Folgerung aus dem Satz von Dirichlet folgt nun: es ex. paarweise verschiedene p_{1}, …, p_{t} prim mit m | (p_{i} − 1) (da unendl. viele Primzahlen der Form p = 1 + k · m ex.). Setze n := ∏_{i=1}^{t} p_{i}. Laut Chinesischem Restsatz gilt nun: ℤ_{n} ≅ ∏_{i=1}^{t} ℤ_{p_{i}}. Da gilt: m | (p_{i} − 1), folgt: m_{i} | (p_{i} − 1)∀i. Aus dem 6. Vortrag (Satz 6.4) ist bekannt:(ℤ_{p_{i}})^{∗} ist zyklisch der Ordnung p_{i} − 1. Daraus folgt: es ex. (zyklische) Untergruppen D_{i} ≤ (ℤ_{n})^{∗} mit |D_{i}| = m_{i}. Da nun D_{i} und C_{i} jeweils zyklisch und derselben Ordnung, gilt: C_{i} ≅ D_{i}. Setze: U := ∏_{i=1}^{t} D_{i}. Insgesamt gilt nun:

A ≅ ∏_{i=1}^{t} C_{i} ≅ ∏_{i=1}^{t} D_{i} = U und U = ∏_{i=1}^{t} D_{i} ≤ ∏_{i=1}^{t}(ℤ_{p_{i}})^{∗} = (∏_{i=1}^{t} ℤ_{p_{i}})^{∗} ≅ (ℤ_{n})^{∗}

□

Da für unser angestrebtes Ziel, dem Beweis des Satzes von Kronecker-Weber, die zuletzt bewiesene Eigenschaft für Untergruppen abelscher Gruppen jedoch für Faktorgruppen gebraucht wird, zunächst noch folgender Satz:

13.7 Satz Seien A eine endliche abelsche Gruppe und U ≤ A beliebig. Dann existiert eine Untergruppe V ≤ A mit U ≅ A/V.

Beweis: Es gilt wieder: A ≅ ∏_{i=1}^{t} C_{i} mit C_{i} zyklisch. Damit gilt für bel. U ≤ A: U ≅ ∏_{i=1}^{t} U_{i} mit U_{i} ≤ C_{i}. Seien u_{i} := |U_{i}| und v_{i} := |C_{i}|/u_{i}. Da C_{i} zyklisch, existiert (genau) ein V_{i} ≤ C_{i} mit |V_{i}| = v_{i} und da nun auch die Faktorgruppe C_{i}/V_{i} wieder zyklisch ist mit der Ordnung |C_{i}|/v_{i} = u_{i}, gilt: U_{i} ≅ C_{i}/V_{i}. Setze jetzt: V := ∏_{i=1}^{t} V_{i}. Dann gilt:

A/V ≅ ∏_{i=1}^{t} C_{i} / ∏_{i=1}^{t} V_{i} = ∏_{i=1}^{t}(C_{i}/V_{i}) ≅ ∏_{i=1}^{t} U_{i} ≅ U

□

13.8 Folgerung Sei A eine endliche abelsche Gruppe. Dann existieren ein n ∈ ℕ und eine Untergruppe B ≤ (ℤ_{n})^{∗}, so dass A ≅ (ℤ_{n})^{∗}/B .

Jetzt haben wir genügend ”Rüstzeug“ zusammen, um den ersten Teil des Vortrags abzuschließen mit dem:

13.9 Satz (Kronecker-Weber) Sei A eine endliche abelsche Gruppe. Dann existiert eine Galois-Erweiterung L : ℚ, so dass gilt: A ≅ Gal_{ℚ} (L).

Beweis: Nach (5.13) gilt: (ℤ_{n})^{∗} ≅ Gal_{ℚ} (ℚ_{n}) =: G (ℚ_{n}: n-ter Kreisteilungskörper) Nach der letzten Folgerung ex. jetzt ein B ≤ G mit G/B ≅ A. Setze: L := ℚ_{n}^{B} (also Fixkörper von B in ℚ_{n}) und ζ := e^{2πi/n} (prime n-te Einheitswurzel). Also: ℚ ⊆ L = ℚ_{n}^{B} ⊆ ℚ_{n} = ℚ[ζ]. Definiere nun

f := ∏_{b∈B}(T − b(ζ)) ∈ ℚ_{n}[T]

Beh.: f ∈ L[T] und f ist Minimalpolynom von ζ über L. Sei σ ∈ B beliebig und \overline{σ} die kanonische Fortsetzung von σ auf ℚ_{n}[T]. Dann gilt:

\overline{σ}(f) = \overline{σ}(∏_{b∈B}(T − b(ζ))) = ∏_{b∈B}(T − (σ ∘ b)(ζ)) = ∏_{b′∈B}(T − b′(ζ)) = f

Also: ∑_{i=1}^{k} a_{i}T^{i} = f = \overline{σ}(f) = ∑_{i=1}^{k} σ(a_{i})T^{i}

Koeffizienten-Vergleich ergibt: σ(a_{i}) = a_{i}∀i. Da σ ∈ B beliebig gewählt war, folgt nun: f ∈ L[T]. Zeige als nächstes: f ist irreduzibel Gelte f = g · h , g, h ∈ L[T]. Dann ist ζ Nullstelle von g oder h. (oBdA: g(ζ) = 0). Für bel. b ∈ B gilt damit:

0 = b(0) = b(g(ζ)) =^{g∈L[T]} g(b(ζ))

Das heißt: alle Nullstellen von f liegen in g, woraus folgt, dass h konstant ist (da f quadratfrei (alle Nullstellen haben Vielfachheit 1)).

Damit ist f Minimal-Polynom von ζ über L.

Es gilt: |A| · |B| = |G/B| · |B| = |G| = [ℚ_{n} : ℚ] = [ℚ_{n} : L] · [L : ℚ] = |B| · [L : ℚ]. Daraus folgt: |A| = [L : ℚ].

Gezeigt wird jetzt: A ≅ Gal_{ℚ} (L) (womit der Satz bewiesen wäre). klar: Gal_{L}(ℚ_{n}) = B Falls L : ℚ auch Galoiserweiterung, so gilt nach dem 2. Teil des Haupts. der Galois-Theorie:

Gal_{ℚ} (L) ≅ G/B (≅ A)

Seien g ∈ G, l ∈ L, b ∈ B bel. Dann gilt: b(g(l)) = (b ∘ g)(l) =^{G abelsch} (g ∘ b)(l) = g(b(l)) = g(l) ⇒ g(l) ∈ L. Also: G wirkt insgesamt nur auf L. Nach dem 2.Teil des Haupts. der Galois-Theorie folgt, dass L : ℚ eine Galois-Erweiterung ist, womit jetzt alles bewiesen wäre.

□

Damit sei die Untersuchung für abelsche Gruppen abgeschlossen. Beschäftigen wir uns nun mit der Frage, ob die symmetrische Gruppe S_{n} auch als Galois-Gruppe einer geeigneten Körpererweiterung von ℚ realisiert werden kann. Die Idee ist dabei zunächst, eine Beziehung zu finden zwischen der (Ir)Reduzibilität eines Polynoms f über ℚ und über ℤ_{p}. Es wird sich herausstellen, dass sich die Galoisgruppe von f über ℤ_{p} gerade als Untergruppe der Galoisgruppe über ℚ wiederfinden lässt. Das Vorgehen ist dann schließlich, ein Polynom zu finden, das genügend Permutationen enthält, um ganz S_{n} zu erzeugen.

Zur Vorbereitung der Untersuchungen sind zunächst noch einige Aussagen über Polynome in mehreren Unbestimmten zu machen. Bewiesen werden wir dabei eher wenig, da die Aussagen schnell einzusehen, aber (insbesondere auch wegen der vielen Indizes) formale Beweise relativ mühsam sind.

13.10 Definition ((Elementar-)Symmetrische Polynome) Ein symmetrisches Polynom in n Unbestimmten ist ein Polynom, das unter allen Permutationen der Unbestimmten invariant bleibt. Eine besondere Art symmetrischer Polynome sind die elementar-symmetrischen Polynome. Sie haben die folgende Form: σ_{k} = ∏_{1≤i_{i}<i_{2}<...<i_{k}≤n} T_{i_{1}} · T_{i_{2}} · . . . · T_{i_{k}}.

In ausgeschriebener Form: σ_{1} = T_{1} + T_{2} + ... + T_{n} σ_{2} = T_{1}T_{2}+T_{1}T_{3}+...+T_{1}T_{n}+T_{2}T_{3}+T_{2}T_{4}+...+T_{2}T_{n}+…+T_{n−2}T_{n−1}+T_{n−2}T_{n}+T_{n−1}T_{n} σ_{3} = T_{1}T_{2}T_{3} +T_{1}T_{2}T_{4} +...+T_{1}T_{2}T_{n} +T_{1}T_{3}T_{4} +T_{1}T_{3}T_{5} +...+T_{1}T_{3}T_{n} +…+T_{n−2}T_{n−1}T_{n}

(usw.) ⋮

σ_{n} = T_{1} · T_{2} · . . . · T_{n}

Für n = 5 ergibt sich somit: σ_{1} = T_{1} + T_{2} + T_{3} + T_{4} + T_{5} σ_{2} = T_{1}T_{2} + T_{1}T_{3} + T_{1}T_{4} + T_{1}T_{5} + T_{2}T_{3} + T_{2}T_{4} + T_{2}T_{5} + T_{3}T_{4} + T_{3}T_{5} + T_{4}T_{5} σ_{3} = T_{1}T_{2}T_{3} + T_{1}T_{2}T_{4} + T_{1}T_{2}T_{5} + T_{1}T_{3}T_{4} + T_{1}T_{3}T_{5} + T_{1}T_{4}T_{5} + T_{2}T_{3}T_{4} + T_{2}T_{3}T_{5} . +T_{2}T_{4}T_{5} + T_{3}T_{4}T_{5} σ_{4} = T_{1}T_{2}T_{3}T_{4} + T_{1}T_{2}T_{3}T_{5} + T_{1}T_{2}T_{4}T_{5} + T_{1}T_{3}T_{4}T_{5} + T_{2}T_{3}T_{4}T_{5} σ_{5} = T_{1}T_{2}T_{3}T_{4}T_{5}

(In einfachen Worten: σ_{k} ist die Summe aller möglichen Zusammenstellungen von k Unbestimmten, wobei die Reihenfolge der Unbestimmten in der Zusammenstellung keine Rolle spielt (deshalb geordnet).)

13.11 Satz (Vieta) Sei K ein beliebiger Körper, f ∈ K[T] und L ⊇ K der Zerfällungskörper von f. Gelte also:

f(T) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} = a_{n} · ∏_{i=1}^{n}(T − α_{i})

Dann gilt: a_{n−k} = a_{n} · (−1)^{k} · σ_{k}(α_{1}, α_{2}, …, α_{n}) für alle k = 1, …, n

Beweis: Die Verifikation dieser Aussage ergibt sich einfach durch Ausmultiplizieren des Ausdrucks ∏_{i=1}^{n}(T − α_{i}) und Koeffizientenvergleich mit f(T) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i}. Doch statt eines allzu technischen Induktionsbeweises, sollen uns einige Beispiele (n=2,3,4) genügen. Anschaulich sollte dann die Sache klar sein. Bezeichne im Folgenden f_{k} ein allg. Polynom k − ten Grades. Also: f_{k}(T) = ∑_{i=0}^{k} a_{i}T^{i} = a_{k} · ∏_{i=1}^{k}(T − α_{i})

f_{2}(t) = a_{2} ((T − α_{1})(T − α_{2}))

= a_{2} (T^{2} − (α_{1} + α_{2})T + α_{1}α_{2}) f_{3}(t) = a_{3} ((T − α_{1})(T − α_{2})(T − α_{3}))

= a_{3} (T^{3} − (α_{1} + α_{2} + α_{3})T^{2} + (α_{1}α_{2} + α_{1}α_{3} + α_{2}α_{3})T − α_{1}α_{2}α_{3}) f_{4}(t) = a_{4} ((T − α_{1})(T − α_{2})(T − α_{3})(T − α_{4}))

= a_{4}(T^{4} − (α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4})T^{3} + (α_{1}α_{2} + α_{1}α_{3} + α_{1}α_{4} + α_{2}α_{3} + α_{2}α_{4} + α_{3}α_{4})T^{2}

−(α_{1}α_{2}α_{3} + α_{1}α_{2}α_{4} + α_{1}α_{3}α_{4} + α_{2}α_{3}α_{4})T + α_{1}α_{2}α_{3}α_{4})

Bem.: Bei einem normierten Polynom ergeben sich also die Koeffizienten durch die Werte der elementar-symmetrischen Polynome in den Wurzeln des Polynoms (bis auf Vorzeichen).

□

13.12 Satz (Darstellungssatz symmetrischer Polynome) Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in den elementar-symmetrischen Polynomen darstellen.

Bem.: Ein Beweis dieser Aussage lässt sich per absteigender Induktion nach dem Polynomgrad führen. Auch dieser Beweis ist hauptsächlich technisch und aufgrund der vielen Unbekannten relativ unübersichtlich. Deshalb wird auch hier auf einen formalen Beweis verzichtet.

An einem kleinen Beispiel wollen wir diese Möglichkeit der Darstellung aufzeigen: Betrachte das Polynom

f(T_{1}, T_{2}) = (T_{1} − 1)(T_{2} − 1)(T_{1} − 2)(T_{2} − 2)

welches offensichtlich symmetrisch in den Unbekannten T_{1} und T_{2} ist.

Ausmultipliziert erhält man:

f(T_{1}, T_{2}) = T_{1}^{2} T_{2}^{2} − 3 T_{1}^{2} T_{2} − 3 T_{1} T_{2}^{2} + 9 T_{1} T_{2} + 2 T_{1}^{2} − 6 T_{1} + 2 T_{2}^{2} − 6 T_{2} + 4 = 2(T_{1} + T_{2})^{2} − 6(T_{1} + T_{2}) − 3(T_{1} + T_{2}) · (T_{1}T_{2}) + (T_{1}T_{2})^{2} + 5(T_{1}T_{2}) + 4

= 2σ_{1}^{2} − 6σ_{1} − 3σ_{1} · σ_{2} + σ_{2}^{2} + 5σ_{2} + 4
= g(σ_{1}, σ_{2})

wobei

σ_{1} = T_{1} + T_{2} , σ_{2} = T_{1} · T_{2} und g(U, V) = 2U^{2} − 6U − 3UV + V^{2} + 5V + 4

Dieses kleine Beispiel soll uns in diesem Zusammenhang reichen.

Kommen wir jetzt also zur Untersuchung des oben bereits angesprochenen Zusammenhangs: Sei K ein Körper und f ∈ K[T] normiert und quadratfrei mit f = T^{n} +a_{n−1}T^{n−1} +…+ a_{0} = ∏_{i=1}^{n}(T − α_{i}) (im Zerfällungskörper \overline{K} von f). Der Abkürzung halber definiere noch: α := (α_{i}, …, α_{n}). Seien U = (U_{i}, …, U_{n}) Unbestimmte. Definiere nun, was es heißt, σ ∈ S_{n} wirkt auf einen Ausdruck in den U_{i} bzw. α_{i}. Sei A(U) = A(U_{1}, …, U_{n}) ein Ausdruck in den U_{i}’s. Dann sei für σ ∈ S_{n}: σ_{U}(A(U)) := A(U_{σ(1)}, …, U_{σ(n)}). Entsprechend auch für die α_{i}’s: σ_{α}(A(α)) := A(α_{σ(1)}, …, α_{σ(n)}).

Setze ϑ := ∑_{i=1}^{n} U_{i} · α_{i} und F (T, U) := ∏_{σ∈S_{n}}(T − σ_{U}(ϑ))

Damit ist F (T, U) ∈ K[α, U, T] symmetrisch in den α_{i}’s, denn:

π_{α}(F (T, U)) = π_{α} ( ∏_{σ∈S_{n}}(T − σ_{U}(ϑ))) = ∏_{σ∈S_{n}}(T −σ_{U}(π_{α}(ϑ))) = ∏_{σ′∈S_{n}}(T −σ′_{U}(ϑ)) = F (T, U)

und damit darstellbar als Polynom in den elementar-symmetrischen Polynomen mit ”Unbestimmten“ α_{i}. Nach dem Satz von Vieta entsprechen diese α_{i} gerade den Koeffizienten von f (bis auf Vorzeichen), so dass sich feststellen lässt: F (T, U) lässt sich als Polynom in den Koeffizienten von f darstellen.

Also: F (T, U) ∈ K[U, T]

Zerlege nun F (T, U) in (K[U])[T] in irred. Faktoren (Es lässt sich zeigen, dass für einen faktoriellen Ring R der Polynomring R[T] in einer Unbestimmten wieder ein faktorieller ist. Also folgt per Induktion, dass der Ring (K[U])[T] faktoriell ist) F (T, U) = F_{1}(T, U) · F_{2}(T, U) · . . . · F_{r}(T, U)

Beh.: Für einen Faktor F_{i_{0}} gilt: {σ ∈ S_{n} : σ_{U}(F_{i_{0}}) = F_{i_{0}}} bildet eine Gruppe G (dies gilt für beliebiges i) mit G ≅ Gal_{K}(f).

Beweis: Zum 1. Punkt (Gruppeneigenschaften): Abgeschlossenheit, Assoziativität und Einselement sind klar. Zum Inversen: (σ^{−1})_{U}(F_{i}) = (σ^{−1})_{U}(σ_{U}(F_{i})) = F_{i} .

In K[U, α][T] zerfällt F (T, U) in Linearfaktoren, denn F (T, U) = ∏_{σ∈S_{n}}(T − σ_{U}(ϑ)) Sei i_{0} nun so gewählt, dass F_{i_{0}} den Faktor T −∑_{i=1}^{n} U_{i}α_{i} = T −ϑ (also: σ = id) enthält. Zur Abkürzung setze noch: L_{i_{0}}:= Menge der Linear-Faktoren von F_{i_{0}}.

Aus (σ_{U} ∘ σ_{α})(ϑ) = ∑_{i=1}^{n} U_{σ(i)}α_{σ(i)} = ϑ folgt: σ_{α}(ϑ) = σ_{U}^{−1}(ϑ)

Zwischenbeh.: σ ∈ G ⇔ σ_{U}(T − ϑ) ∈ L_{i_{0}} “⇒“: Diese Richtung ist klar, denn für σ ∈ G gilt: σ_{U}(F_{i_{0}}) = F_{i_{0}} und damit, da T − ϑ ∈ L_{i_{0}}: σ_{U}(T − ϑ) ∈ L_{i_{0}} “⇐“: Da σ_{U} irred. Teiler von F in irred. Teiler von F überführt (denn: σ_{U}(F_{i} · F_{j}) = σ_{U}(F_{i}) · σ_{U}(F_{j})), gilt: σ_{U}(F_{i_{0}}) = F_{j} (j zunächst noch unbestimmt). Da nun T − ϑ in L_{i_{0}} liegt, muss σ_{U}(F_{i_{0}}) = F_{i_{0}} gelten.

Nun charakterisiere noch die Elemente von Gal_{K}(f) (aufgefasst als Untergr. von S_{n}): Da F_{i_{0}} irreduzibel ist und den Faktor T −ϑ = T −∑_{i=1}^{n} U_{i}α_{i} enthält, ist der Zerfällungskörper von F_{i_{0}}: (K[U, T])[α]. Da ja nun jeder Isomorphismus aus Gal_{K}(f) durch eine Permutation der α_{i}’s charakterisiert ist, ist dieser Isomorphismus genausogut durch Überführung von ϑ in ϑ′ (Konjugierte von ϑ) charakterisiert. Damit gibt σ_{α} = σ_{U}^{−1} einen Isomorphismus der beiden Gruppen an.

□

Dieses Ergebnis, was von reinem theoretischen Interesse ist, führt jetzt zu einem Korollar, das für die weiteren Untersuchungen von großem Interesse sein wird:

13.13 Korollar Sei f(T) ∈ ℤ[T] normiert, p prim und \overline{f}(T) := f(T) mod (p) beide quadratfrei. Dann gilt: Gal_{ℤ_{p}} (\overline{f}) ≅ U ≤ Gal_{ℚ} (f).

Beweis: Identifiziere im Folgenden wieder die Galois-Gruppen mit den entsprechenden Untergruppen von S_{n}. Betrachte: F (T, U) ∈ (ℚ[U])[T] mit F (T, U) = ∏_{σ∈S_{n}}(T − σ_{U}(ϑ)) = F_{1} · . . . · F_{r} (F_{i} irreduzibel) Nach dem Gauß-Lemma gilt nun: F_{i}(T, U) ∈ (ℤ[U])[T] (und damit natürlich auch: F (T, U) ∈ (ℤ[U])[T]) Betrachte nun: (F (T, U) mod (p)) = (F_{1} mod (p)) · . . .·(F_{r} mod (p)). (Beachte: (F_{i} mod (p)) ist nicht unbedingt irreduzibel.) (Zur Abkürzung: Setze \overline{F}_{i} := (F_{i} mod (p))) Sei nun g ∈ Gal_{ℤ_{p}} (\overline{f}) bel.: g(irred. Faktor von \overline{F}_{i}) =irred. Faktor von \overline{F}_{i}. Und damit auch: g(irred. Faktor von F_{i}) =irred. Faktor von F_{i}. Und damit ist nach obiger Überlegung: g ∈ Gal_{K}(f).

□

Jetzt noch eine kurze Untersuchung, wie man mit möglichst wenig Permutationen die ganze Gruppe S_{n} erzeugen kann, und dann können wir uns auch schon geeignete Polynome konstruieren.

13.14 Satz Eine transitive Untergruppe U ≤ S_{n}, die eine Transposition und einen (n − 1)-Zyklus enthält, ist ganz S_{n}.

Beweis: Sei (1, 2, …, (n−1)) der (n-1)-Zyklus (nach evtl. Umnummerierung der Zahlen {1, 2, …, n}), und τ := (i, j) die Transposition. Versuche jetzt eine Transposition der Form (k, n) zu finden. Falls i = n oder j = n, so ist nichts mehr zu unternehmen, ansonsten führe folgende Konstruktion durch: Da U transitiv, ex. ein σ ∈ S_{n} mit σ(j) = n. Setze jetzt: ν := σ ∘ τ ∘ σ^{−1}.

Dann gilt: σ(i) ⟶^{σ^{−1}} i ⟶^{τ} j ⟶^{σ} σ(j) = n

und: σ(j) = n ⟶^{σ^{−1}} j ⟶^{τ} i ⟶^{σ} σ(i).

Klar ist: ν(k) = k für alle k ∉ {σ(i), n}, d.h. ν ist eine Transposition der Form (k, n). Diese Transposition lässt sich nun mithilfe des Zyklus’ (1, 2, …, (n − 1)) in (l, n) mit l ∈ {1, …, n} bel. umformen. Damit enthält U alle Transpositionen dieser Form, die ein Erzeugendensystem für S_{n} bilden, sodass schließlich gilt: U = S_{n}.

□

Kommen wir nun zur Konstruktion eines Polynoms ∈ ℚ[T], das als Galoisgruppe die symmetrische Gruppe S_{n} hat. Seien

• f_{1} ∈ ℤ_{2}[T] irreduzibel vom Grade n

• g_{1}, g_{2} ∈ ℤ_{3}[T] irreduzibel mit grad(g_{1}) = n − 1 und grad(g_{2}) = 1

• – n ungerade: h_{1}, h_{2} ∈ ℤ_{5}[T] irreduzibel mit grad(h_{1}) = 2 und grad(h_{2}) = n−2

– n gerade: h_{1}, h_{2}, h_{3} ∈ ℤ_{5}[T] irreduzibel mit grad(h_{1}) = 2, grad(h_{2}) ungerade, und grad(h_{1}) + grad(h_{2}) + grad(h_{3}) = n

Nach (7.12) sind diese Polynome alle zu finden. Definiere nun:

• f_{2} := g_{1} · g_{2},

• f_{3} := h_{1} · h_{2} · h_{3},

• f := 15f_{1} + 10f_{2} + 6f_{3}.

Dann gilt:

f ≡ f_{1} (mod 2)
f ≡ f_{2} (mod 3)
f ≡ f_{3} (mod 5)

(Es würde auch ein anderes f genügen, das diese 3 Kongruenzen erfüllt.)

Noch eine kurze Überlegung: Nach (6.11) ist Gal_{ℤ_{p}} (P) zyklisch für bel. p prim und bel. P ∈ ℤ_{p}[T]. Außerdem gilt für bel. Polynom P: Gal_{K}(P) ist transitiv ⇔ P ist irreduzibel. Zerfällt nun P ∈ ℤ_{p}[T] in der Art P = P_{1} · P_{2} · . . . · P_{r} in irreduzible Faktoren und bezeichne g_{i} := grad(P_{i}), so ergibt sich das Zykelformat der erzeugenden Permutation von Gal_{ℤ_{p}} (P) durch: (1 2 … g_{1})(g_{1}+1 … g_{2}) … (g_{r−1}+1 … g_{r}). Folgendes gilt deshalb für die Galois-Gruppe des gerade definierten f:

• ’mod 2 - Zerfällung’ ⇒ Gal_{ℚ} (f) ist transitiv,

• ’mod 3 - Zerfällung’ ⇒ Gal_{ℚ} (f) enthält einen (n − 1)-Zyklus, • ’mod 5 - Zerfällung’ ⇒ Gal_{ℚ} (f) enthält eine Produkt aus einer Transposition

und einem Zyklus (falls n ungerade) bzw. zwei Zyklen (falls n gerade) ungerader Ordnung (bildet man hiervon eine geeignete ungerade Potenz, so erhält man eine reine Transposition).

Nach obigem Satz gilt nun: Die Galois-Gruppe von f ist S_{n}.

Mithilfe dieses Ansatzes lässt sich sogar beweisen, dass asymptotisch jedes Polynom über ℚ vom Grade n und (n → ∞) die symmetrische Gruppe S_{n} als Galois-Gruppe hat. Dies beweist einmal mehr die Schwierigkeit des Inversen Galois-Problems.

Zur Illustration des Vorgangs wollen wir als kleines Beispiel die S_{6} erzeugen: Wähle folgende Polynome:

• f_{1} := T^{6} + T^{3} + 1

• g_{1} := T^{5} + T^{3} + T^{2} + 2 ∥ g_{2} := T + 2

• h_{1} := 2T^{2} + T + 3 ∥ h_{2} := T^{3} + T^{2} + 1 ∥ h_{3} := 3T + 4

• f_{2} := g1 · g2 = T^{6} + 2T^{5} + T^{4} + 3T^{3} + 2T^{2} + 2T + 4

• f_{3} := h1 · h2 · h3 = 6T^{6} + 17T^{5} + 24T^{4} + 31T^{3} + 23T^{2} + 13T + 12

• f := 15f_{1} + 10f_{2} + 6f_{3} = 61T^{6} + 122T^{5} + 154T^{4} + 231T^{3} + 158T^{2} + 98T + 127

Mithilfe eines Computeralgebra-Systems (wie z.B. Maple) lassen sich die geforderten Eigenschaften an die Polynome einfach nachweisen und auch die Behauptung, dass f die S_{6} erzeugt, verifizieren.

Eine andere Menge Polynome, die als Galois-Gruppen die symmetrischen Gruppen haben, sind die sogenannten Laguerre-Polynome, die sich sogar in geschlossener Form angeben lassen:

13.15 Satz (Issai Schur, 1930)

1. Bedeutet L_{n} das n-te Laguerre-Polynom, also L_{n} = ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i} \frac{(−T)^{i}}{i!} , dann ist Gal_{ℚ} (L_{n}) ≅ S_{n}.

2. Für E_{n} = ∑_{i=0}^{n} \frac{T^{i}}{i!} gilt:

Ist n ≡ 0 (mod 4), dann gilt: Gal_{ℚ} (E_{n}) ≅ A_{n},

für alle anderen n gilt: Gal_{ℚ} (E_{n}) ≅ S_{n}.

Zum Abschluss noch eine kleine historische Übersicht:

• 1830: François Evariste Galois entwickelt eine Methode, einem Polynom eine endliche Gruppe zuzuordnen.

• Ende 19. Jh.: Kronecker-Weber-Theorem ist allgemein bekannt. Desweiteren sind einige Polynome bekannt, die abelsche Galois-Gruppen über ℚ besitzen. (Benutzt werden hierbei Gauss-Reihen, also ein rein zahlentheoretischer Ansatz.)

• 1892: David Hilbert beginnt mit der ersten systematischen Studie des Inversen Galois-Problems. Mithilfe seines Irreduzibilitäts-Theorems beweist er folgende Aussage: Für beliebiges n ≥ 1 lassen sich S_{n} und A_{n} als Galois-Gruppen über ℚ realisieren.

• 1916: Emmy Noether beweist mithilfe von Hilberts Irreduzibilitäts-Theorems: Sei G eine beliebige endliche Gruppe der Ordnung n und ℚ[X_{1}, …, X_{n}]^{G} der Fixkörper von ℚ[X_{1}, …, X_{n}] unter den Permutationen der Unbestimmten mithilfe von G. Dann gilt: Falls ℚ[X_{1}, …, X_{n}]^{G}/G rational (rein transzendent) ist, so ist G als Galois-Gruppe über ℚ zu realisieren. (Bem.: Nach Konstruktion ist ℚ[X_{1}, …, X_{n}]/ℚ[X_{1}, …, X_{n}]^{G} galois mit Galois-Gruppe G.) ”rational“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass der Unterkörper relativ zum Oberkörper algebraisch abgeschlossen ist, d.h., dass es im Oberkörper nur transzendente Elemente gibt.

• 1937: A. Scholz und H. Reichhardt beweisen folgende Aussage:

Jede endliche p-Gruppe (p prim und |G| = p^{m}) kann als Galois-Gruppe über ℚ realisiert werden. Der Beweis war ein reiner Existenz-Beweis, ergab also keinen Algorithmus, wie man solche Polynome berechnen kann.

• 1950er (vollst. Beweis erst 1989): Shafarevich beweist:

Jede auflösbare Gruppe kann als Galois-Gruppe über ℚ realisiert werden. Auch dies war wieder ein reiner Existenzbeweis und außerdem auch hauptsächlich zahlentheoretisch, so dass sich die Idee nicht auf nicht-auflösbare Gruppen übertragen lässt.

• 1980: Abschluss der Charakterisierung von einfachen Gruppen Aussage dieser Charakterisierung ist: Es gibt genau 26 sporadische Gruppen und 18 Familien einfacher Gruppen. Für die sporadischen Gruppen ist die Realisierbarkeit über ℚ bereits bewiesen (bis auf evtl. die Mathieu-Gruppe M_{23}). Dieses Ergebnis gab den Untersuchungen bzgl. des Inversen Galois-Problems eine neue Richtung, so dass es nun natürlich schien, sich erst auf die einfachen Gruppen zu konzentrieren und dann durch eine Art Induktion den Beweis auf alle Gruppen zu übertragen. Wie dieses Verfahren aber aussehen soll, ist noch nicht klar.

Ein letztes Ergebnis, was vielleicht besonders beeindruckend ist, ist folgendes:

• 1984: Thompson beweist: Die Monster-Gruppe kann als Galois-Gruppe über ℚ realisiert werden. Warum ist dieses Ergebnis so beeindruckend? Nun, die 1980 entdeckte Monster-Gruppe beschreibt die Symmetrien eines 196883-dimensionalen Gitters und enthält insgesamt 10^{54} Elemente… LITERATUR

Literatur

[1] Christian Nelius: Skript der ”Algebra I“–Vorlesung, Universität Paderborn, Sommersemester 2003

[2] G. Fischer und R. Sacher: Einführung in die Algebra, Teubner 1974

[3] Thomas W. Hungerford: Algebra, Springer 1980

[4] Heinz Lüneburg: Galoisfelder, Kreisteilungskörper und Schieberegisterfolgen, B.I. 1979

[5] H. – D. Ebbinghaus et al.: Zahlen, Springer 1983

[6] Christian U. Jensen, Arno Ledet und Noriko Yui: Generic Polynomials - Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem, Mathematical Sciences Research Institute Publications 2002